2022年全国硕士研究生招生考试数学试题（数学三）（科目代码:303）一、选择题：1 0小题，每小题5分，共5 0分，下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所有选项前的字母填在答题卡指定位置 当x（）时，a（x）,0（x）是非零无穷小量，给出以下四个命题若a(x)B(x),则a2(x)的 若a?(x)p2(x),则a(x)P(x)若a(x)p(x),则a(x)-B(x)=o(a(x)若a(x)-p(x)=o(a(x),则a(x)p(x)其中正确的是()(A)(B)(C)(一 1)已知 a=JT-(7 1 =1,2,.),则a()(D)（A）有最大值，有最小值（C）没有最大值，有最小值（B）有最大值，没有最小值（D）没有最大值，没有最小值S 设函数/连续，令尸（工,历=尸7（工一）一山，则（）(A)讦=F diF_ diFdx dy?d2x 82y(C)d F _ _dF diF_ diFdx dy d2x A 2 y(B)=dF d2F _ _di Fdx dy d2x 32 y(D)_dF diF _d2Fdx dy d2x 32 y 已知/=J%dx,I J】ln(l+x)也/J 呢 则()1 o2(l+cosx)2 0 l+cos x 3 01+sinx(A)I I 1(B)I 1 11 2 3 2 1 3(C)I 1 1(D)I 1 11 3 2 3 2 I（1 设4为3阶矩阵，A=0o11 oo-则4的特征值为1,-1,（）的充分必要条件1 0 0 0,是（）存在可逆矩阵P,Q,使 得A=P I Q0 存在可逆矩阵P,使得4=以PT0 存在正交矩阵Q ,使得0 存在可逆矩阵P,使得4=P/P rp 1 1 3 设矩阵4|1 a成，b=2 ,则线性方程组A x=b 解的情况为（)（A）无解（B）有解（C）有无穷多解或无解（D）有唯一解或无解九 2:,与以，a,a2 3 1 2 4(C)九|九 R,入 w 1,1 w 2(D)九|九 w R,九 w 1(8 )设随机变量X N(0,4),随机变量Y B(3,L ,且 X 与 丫不相关，则3O(X-3 Y+1)=()(A)2 (B)4 (C)6 (D)1 0(9)设随机变量序列X,X ,X,独立同分布，且 X的概率密度为I 2 n 1f(x)=f l-|x|,|xl l ,则“f o o 时，1_ nZ X 2 依概率收,敛于()0,其他 汩,(A)1 (B)J (C)J (D)J8 6 3 2（1 0）设二维随机变量（X,F）的概率分布012-10.10.1b1a0.1().1若事件m axX,V=2 与事件(m i n X,V =l 相互独立,则 Cov(X,Y)=()(A)-0.6(B)-0.3 6(C)0(D)0.4 8二、填空题：1 1-1 6 小题，每小题5分，共 3 0 分1 +e r _l i m(-)c o t.r =.XTO 2(1 1)(1 2)(1 3)(1 4)(6)o 4+2 x+4已知函数 f(X)=e s i n A 4-e-s i n x,则 f (2兀)=口.已知函数/(x)=,-X-1,则卜x)d y=d 0,其他-0 0 -0 0设A为3阶矩阵，交换A的第2行和第3行，再将第2列的-1倍加到第1列，-2 1 -1、得 到 矩 阵1 -1 0 ,则A T的迹(AT)包口.、T 0 o j 设A,B,C为随机事件，且A与8互不相容，A与C互不相容，8与。
相互独立，P(A)=P(B)=P(C)=L,则 P(B U C|A U8UQ=U3三、解答题：1 7-2 2 小题，共 7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(1 7)(本题满分1 0分)设函数y(x)是微分方程y+产y =2+满足条件)，(1)=3的解，求曲线y =y(x)的渐近线.(1 8)(本题满分1 2分)设某产品的产量Q由资本投入量x和劳动投入量y决定，生产函数为1 2 5/,该产品的销售单价产与的关系为P =1 1 6 0-L5 Q,若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为6和8,求利润最大时的产量.(1 9)(本题满分1 2分)已知平面区域D =(x,y)|y-2 4 4产 ,04y 42 ,计算/=U 0 二y dx dy .X2+y2D (-4)+1(2 0)(本题满分1 2分)求廨级数工 一 的 收 敛 域 及 和 函 数S(x).n=04(2 n+l)(2 1)已知二次型/(x ,x ,x )=3 x 2 +4x 2 +3 x 2 +2x x1 2 3 I 2 3 1 3&求正交变换x=0 y将/(x ,x,x)化为标准形;1 2 3G O 证明 min*=2.於0 e（22）设X,X，,X为来自均值为。
的指数分布总体的简单随机样本，求1 2 Y,Y,-,Y为来自均值为20的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独1 2 m立，其中0）是未知参数.利用样本X,X,-,X ,Y,Y,-,Y,求的最大似1 2 n 1 2 m然估计量。
