单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,定积分 习题课,一、主要内容,问题1:,曲边梯形的面积,问题2:,变速直线运动的路程,定积分,存在定理,广义积分,定积分,的性质,牛顿-莱布尼茨公式,定积分的,计算法,二、内容提要,1 定积分的定义,定义的实质,几何意义,物理意义,2 可积和 可积的两个,充分,条件,3 定积分的性质,线性性,可加性,非负性,比较定理,估值定理,积分中值定理,积分中值公式,若,M,和,m,是,变上限定积分及其导数,牛顿莱布尼茨公式,定积分的计算法,（,1）换元法,换元积分公式,（,2）分部积分法,分部积分公式,微积分基本公式,利用对称区间上奇偶函数的性质简化定积分的计算,广义积分,(1)无穷限的广义积分,(2)无界函数的广义积分,三、典型例题,例1,解,例,2,广义积分中值定理,设,f,(,x,),在,a,b,上连续，,g,(,x,),在,a,b,上可积，且不变号，则,证,因,f,(,x,),在,a,b,上连续，故,f,(,x,),在,a,b,上必取得,最大值,M,和最小,m,，,又,g,(,x,),在,a,b,上不变号,故不妨设,若,则由上式知,可取,a,b,内任一点,若,由介值定理,例3,证明,证一,由广义积分中值定理,证二,例4,求极限,证三,解,如果能把数列的通项写成,的形式,就可以利用,或,把数列极限问题转化为定积分,的计算问题,与数列的极限有着密切联系,由以上两例可见，连续函数,f,(,x,),的定积分,证明,Cauchy,-Schwarz,不等式,证,例7,记,则,另证,定积分不等式的证明方法,辅助函数法,将,一个积分限换成变量，移项使一端为 0,另一端即为所求作的辅助函数,F,(,x,),判定单调性，与端点的值进行,比较即得证,例8,设,求,解,这是 型未定式的极限,解,由,L,Hospital,法则,a,=0,或,b,=1,将,a,=0,代入知不合题意,故,b,=1,例9 试确定,a,b,的值使,证明,证一,由定积分的定义,（因,f,(,x,),是凸函数）,证二,记,则,a,0,例10 设,上凸,故其上任一点的切线都在曲线的上方,在,x,=,a,处的切线方程为,证三,易证明当,t,0,时有,或,又曲线,例11,设,f,(,x,),在,a,b,上连续且,f,(,x,)0,证明,令,则,F,(,x,),在,a,b,上连续，在(,a,b,),内可导,即,F,(,x,),单调增,设,则,由介值定理得,即,证,解,例12,例13 设,f,(,x,),在 0,1 上连续，且单调不增,证明 对任何,有,证一,由,积分中值定理,再由,f,(,x,),单调不增,证二,则,F,(1)=0,再由,f,(,x,),单调不增,证三,证四,证五,由,f,(,x,),单调不增,例,14 计算,解一,=0,=0,解二,由定,积分换元法知,例,15,证明 方程,在(0,1)内至少有一根,证,则,F,(,x,),在 0,1 上连续，在 (0,1)内可导,由,Rolle,定理,在(0,1)内至少有一根,例,16 已知周期为,L,的函数在,上是,连续的奇函数，证明,也是以,L,为周期的函数,证一,对称区间上奇函数的积分,证二,例,18 设,f,(,x,),g,(,x,),在 ,a,b,上连续，证明,证,关键在于作出辅助函数,F,(,x,),则,F,(,a,),F,(,b,),的符号不易判别，得不出结论,两边积分得,则,F,(,x,),在,a,b,上连续，在(,a,b,),内可导,且,F,(,a,)=,F,(,b,)=0,由,Rolle,定理知,注：,辅助函数法,证明定积分等式主要,适用于证明在积分限中至少存在一点,使等式成立的命题,移项使一端为 0,另一端即为,验证,F,(,x,),满足介值定理或,Rolle,定理,。
