2022-2023学年度第二学期高二年级第二次月考数学试卷一､单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简集合，根据并集的概念运算可得结果.【详解】，，所以，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的并集运算，属于基础题.2. 复数（是虚数单位），则A. B. C. -1 D. 【答案】D【解析】【详解】因为复数，所以，故选D. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．3. 已知函数，若对任意，使得成立，则实数最小值为（）A. 1 B. -1 C. 2 D. -2【答案】A【解析】【分析】由题意可得，在上恒成立，令，对求导，求出的单调性，即可求出，即可得出答案.【详解】解：，即在上恒成立.令，因为，所以，所以，在上单调递减，，即.故实数的最小值为1.故选：A.4. 设，那么的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质求解即可.【详解】，所以，则，故选：.5. 已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解分式不等式可求得集合；根据充分不必要条件的定义可知Ü；解一元二次不等式，分别讨论，和的情况，根据包含关系可求得结果.【详解】由得：，，解得：，；由得：；“”是“”的充分不必要条件，Ü，当时，，不满足Ü；当时，，不满足Ü；当时，，若Ü，则需；综上所述：实数的取值范围为.故选：A6. 已知，则与的大小关系是（）A. B. C. D. 不确定【答案】C【解析】【分析】令，结合题意可知，进而有，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令，则当时，，当时，；由，得考虑到得，由，得，即故选：C7. 已知函数，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是（ ）A. B. [，4]C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，，从而可求出实数a的取值范围.【详解】解：的导函数为，由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=，所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，所以当时，，当时，，则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，由题意，得，，可得，解得．故选：B.8. 使得函数在区间上单调的一个必要不充分条件为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数单调性，可得或者在成立，求得的取值范围，根据集合语言和命题语言的关系，求得使的范围为真子集的集合即可得解.【详解】若函数在区间上单调，则在成立，或者在成立，即在成立，所以在成立，由可得，即或在上成立，解得或者，即，根据题意能使得为真子集的集合为，故选：C二､多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9. 下列命题中，正确的有（）A. 函数与函数表示同一函数B. 已知函数，若，则C. 若函数，则D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为【答案】BC【解析】【分析】A.两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误；解方程组，故B正确；求出，故C正确；函数的定义域为，故D错误.【详解】解：的定义域是，的定义域是或，两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误;函数，若，则所以，故B正确；若函数，则，故C正确；若函数的定义域为，则函数中，，所以，即函数的定义域为，故D错误.故选：BC10. 已知，，，则下列说法正确的是（）A. 的最大值是 B. 的最小值是8C. 的最小值是 D. 的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】用均值不等式判断选项A、C、，对选项B进行“1的代换”，利用二次函数的性质判断选项D.【详解】A：由，得，所以(当且仅当时取等号)，故A正确；B：，当且仅当时取等号，故B错误；C：，即当且仅当时取等号，故C正确；D：由，则当时取得最小值，最小值为，故D正确.故选：ACD.11. 已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（）A. B. 在处取得极大值C. 当时， D. 的图象关于点中心对称【答案】ABD【解析】【分析】A由导数的几何意义即可求参数a；B利用导数研究函数的单调性，进而确定是否存在极大值；C根据B判断区间内的端点值、极值，进而确定区间值域；D令，则，即可确定对称中心.【详解】A：，由题意，得，正确；B：，由得：或，易知在，上，为增函数，在上，为减函数，所以在处取得极大值，正确；C：由B知：，，，故在上的值域为，错误；D：令且为奇函数，则，而图象关于中心对称，所以关于中心对称，正确；故选：ABD.12. 已知，则下列说法正确的有（）A. 若恒成立，则实数的取值范围是B. 若有极值，则实数的取值范围是C. 若，则实数的取值范围是D. 若有极值点，则【答案】BCD【解析】【分析】对于A，由已知可得，利用导数求的最大值，可得的取值范围，判断A，对于B，根据极值的导数的关系，列不等式可求的取值范围，由此判断B，对于D，结合函数的单调性，判断D，对于C，由已知可得在单调递增，结合导数与单调性的关系可求的取值范围判断C.【详解】因为，恒成立，所以恒成立，设，则，当时，，函数在上单调递增；当，函数在上单调递减，的最大值为，故A错误；因为函数的定义域为，导函数，若有极值，则方程有两个不等的实数根，且至少有一个正根，设其根为，且，则，所以，又，所以，，所以，B正确；当时，，函数在上单调递增，当时，时，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，可知，所以D正确；对C，若，不妨设，可得，可得在单调递增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，又，当且仅当时等号成立，所以，C正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．三､填空题（本大题共4小题，共20分）13. 函数的定义域为__________．【答案】【解析】【分析】利用对数、分式、根式的性质列不等式，求的范围，即得定义域.【详解】由函数解析式，知：，解得且.故答案为：.14. 若不等式对一切成立，则的取值范围是 _ _ .【答案】【解析】【详解】当，时不等式即为，对一切恒成立 ①当时，则须 ，∴②由①②得实数的取值范围是，故答案为.15. 设函数是R内的可导函数，且，则________.【答案】【解析】【分析】先利用换元法求出的解析式，再对函数求导，从而可求出的值【详解】令，，所以，，.故答案：，【点睛】此题考查换元法求函数的解析式，考查函数的求导法则的应用，考查计算能力，属于基础题16. 将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，当等于__________时，方盒的容积最大．【答案】【解析】【分析】先求出方盒容积的表达式，再利用导数根据单调性求最大值.【详解】方盒的容积为：当时函数递减，当时函数递增故答案为【点睛】本题考查了函数的最大值的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知．（1）求函数的解析式；（2）若函数，求的单调区间．【答案】（1）（2）单调增区间为，单调递减区间为【解析】【分析】（1）由配凑法或换元法即可求；（2）由复合函数单调性判断.【小问1详解】因为，设，则，所以．【小问2详解】，由或，设，则，当时，，因为其对称轴为，则此时单调递减，单调递增，所以在单调递减；当时，单调递增，单调递增，所以在单调递增．所以的单调增区间为，单调递减区间为．18. 已知关于的不等式的解集为或.（1）求的值；（2）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式和对应方程的关系，结合根与系数的关系，即可求出、的值；（2）由题可得，结合基本不等式，求出的最小值，得到关于的不等式，解出即可．【小问1详解】因为不等式的解集为或，所以1和是方程的两个实数根且，所以，解得或（舍）.【小问2详解】由（1）知，于是有，故当且仅当，时，即时，等号成立依题意有，即，得，所以的取值范围为.19. 中，角所对应的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若的面积为，边是的等差中项，求的周长【答案】（1）或（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和正弦公式及诱导公式计算可得;（2）由面积公式得到，再由等差中项的性质及余弦定理计算可得.【小问1详解】，，，，，，，，或.【小问2详解】因为的面积为，所以，，由边是的等差中项，得，且不是最大的角，，，，，，，所以的周长为.20. 如图①，在菱形中，且，为的中点．将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥．（1）求证：平面；（2）若为的中点，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）在图①中，连接，证明出，在图②中，利用勾股定理证明出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.【小问1详解】证明：在图①中，连接．四边形为菱形，，是等边三角形．为的中点，，又，．在图②中，，则，．，平面.【小问2详解】解：以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系．则、、、、.为的中点，.，，设平面的一个法向量为，则，令，得.又平面的一个法向量为．设二面角的大小为，由题意知为锐角，则.因此，二面角的余弦值为.21. 在各项均为正数的等差数列中，，，成等比数列，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列前项和为，，证明：．【答案】（1）（2）证明过程见详解【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，结合题意求得，从而即可求得，进而即可求得等差数列的通项公式；（2）结合（1）可得数列的前项和为，从而即可求得的通项公式，再根据裂项相消即可证明结论．【小问1详解】设等差数列的公差为，由已知得，即，又，解得（舍负），则，所以．【小问2详解】结合（1）得，则，所以．22. 已知函数.（1）讨论的极值；（2）当时，求证：.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出，分、讨论可得答案；（2）设，求出，可得在区间上单调递增，求出，再利用基本不等式可得答案.【小问1详解】函数的定义域为，当时.在上单调递增，既无极大值也无极小值；当时，当时，，当时，，在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时取极小值，无极大值.综上所述，当时，既无极大值也无极小值；当时，当时，取极小值，无极大值；【小问2详解】设，设即在区间上单调递增，，存在唯一的，满足，即，当时，；当时，，在区间上单调递减，在区间上单调递增，，当且仅当时取到等号，又因为，所以.【点睛】方法点睛：求函数极值的一般方法：第一步求出函数的定义域并求出函数的导函数；第二步求方程的根；第三步判断在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值.。
