单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,6.5 Gauss 求积公式,1.,Gauss 求积公式,,,设插值型的数值积分公式：,,前面讲述的方法（,lagrange,插值型数值积分法）是事先给定积分节点,x,k,,例如,Newton-Cotes,公式把区间,[,a,,,b,],的等分点作为求积节点，这样所求积分公式的代数精度至多为,n+1,现在取消对积分节点的,限制,，让它与,A,k,,一样，作为一个待定常数，这样在数值积分公式,(1),中需要确定的系数为,x,k,和,A,k,（,k,= 0, 1, …,,n,），,共,2,n,+2,个系数根据代数精度的概念，要确定这,2,n,+2,个系数（,x,k,和,A,k,），,需要解如下,2,n,+2,个方程构成的非线性方程组,其中,若有解，则得到的,插值型的数值积分公式（,1,）至少有,2,n,+1,次代数精度1.,Gauss 求积公式,但是，考虑,2,n,+2,次多项式：,它只在节点,x,i,（,i,= 0,1,…,,n,）,处为零，在其它点处均大于零，所以,而,,.,,故插值型的数值积分公式（,1,）对于,2,n,+2,次多项式 不准确成立，可知其代数精度仅为,2,n,+1,。
1.,Gauss 求积公式,定义,6.5.1,若插值型求积公式,则称该求积公式是,Gauss,求积公式,,,相应的求积节点,,x,k,,(,k,= 0, 1,,…,,,,n,),称为,Gauss,点,其中,，,具有,2,n,+1,次代数精度,,,,例,6.5.1,,确定下列求积公式中的待定参数,A,0,,,A,1,,,x,0,,和,x,1,：,解：令,f,(,x,),=,1,, x,1,, x,2,, x,3,,,,则有下列方程组,此求积公式具有,,,3,,次代数精度,由前面的定义可知，,此求积公式,为,Gauss,求积公式,因此,确定,Gauss,求积公式的关键在于确定,Gauss,点,因为如果先确定了,Gauss,点，,再确定其求积系数,A,k,,(,k,= 0, 1,,. . .,,,,n,),,时将变为线性方程组解线性方程组要比解非线性方程组方便得多,如上例，若事先知道 和 ，则,求积公式变为,,再计算,A,0,和,A,1,时，它们已成为线性关系，取,,f,(,x,) = 1,和,x,可得到,解得,A,0,=,A,1,=1,。
当然也可以由关系式,来确定定理,6.5.1,插值型求积公式中的求积节点,x,k,(,k,= 0, 1,,…,,,n,),是,Gauss,点的充分必要条件是,,与任意次数不超过,,n,,的多项式,P,(,x,),均正交,,,即满足,推论,6.5.1,,在区间,,[,a,,,b,],上,,n,+ 1,次正交多项式,,g,n+1,(,x,),的零点即为,,Gauss,点,关于,Gauss,点的求法,,,,有如下定理2.,G,a,uss-Legendre 求积公式,,在,[-1, 1],上,,,权函数,ρ,(,x,) =1,的,n,+1,次Legendre,多项式,的零点即为,,Gauss,点,.,以,P,n,+1,(,x,),的零点,,x,k,,(,k,= 0, 1,,. . .,,,,n,),为求积节点,,,建立的,Gauss,求,积公式,称为,Gauss-Legendre,,求积公式,，,其,求积系数,(6.5.9),,这是因为,:,设 的首项系数为 ，则,,于是,,常见,Gauss-Legendre,求积公式,,当,n =,0,时，一次勒让德,(Legendre),多项式,P,1,(,x,) =,x,的零点（,Gauss,点）,x,0,= 0,，,取其为求积节点，由,(6.5.9),确定出,A,0,= 2,。
从而得到一点,Gauss-Legendre,求积公式,即,A,0,由,来确定常见,Gauss-Legendre,求积公式,,当,n,= 1,时，二次勒让德（,Legendre,）,多项式,它有两个零点,(Gauss,点,) ,,取它们为求积节点，由（,6.5.9,）确定出,A,0,=,A,1,= 1,从而得到二点,Gauss-Legendre,,求积公式,,,常见,Gauss-Legendre,求积公式,,一点,Gauss-Legendre,,求积公式,二点,Gauss-Legendre,,求积公式,,三点,Gauss-Legendre,求积公式,,,,1~5 个节点的,Gauss-Legendre,求积系数,n,1,2,4,3,0,x,k,A,k,,1~5 个节点的,Gauss-Legendre,求积系数（真值）,n,x,k,A,k,0,0,2,1,,1,,2,,,,0,,,,,续,Gauss-Legendre,求积系数（真值）,n,x,k,A,k,,3,,,,,,,,,4,,,,0,,,,,,,,对于一般的区间,[,a, b,],，,可作坐标变换,,得到,对上式,右端,的积分可采用标准,Gauss-Legendre,求积公式进行计算。
例,6.5.3,,利用三点,Gauss-Legendre,求积公式计算积分,结果保留六位小数解,:,令 ，则,,,例,6.5.4,,构造 的,Gauss-Legendre,求积公式,,,使其具有,7,次代数精度,.,,解,:,,由,2,n,+1=7,,求得,n,= 3,,,这表明有,4,个求积节点,, 3,个小区间,.,作变量置换令,x,= 2,t,+ 4,,,,则有,由上表有,2{0.3478548,f,( 2(-0.8611363) + 4),+ 0.3478548,f,(2(0.8611363) + 4),,+ 0.6521452,f,(2(-0.3398810) + 4),,+ 0.6521452,f,(2(0.3398810) + 4) },,,3.,带权的Gauss 求积公式,,考虑带权的积分 其中 为权函数,.,若,,,,,即为通常的积分,.,,则,设,f,(,x,),在插值节点,,处的函数,值为,f,(,x,k,),,作,,n,,次,,Lagrange,插值多项式,(6.5.13),,其中,(6.5.15),,上式称为,带权的插值积分公式,,,A,k,,是其求积系数,.,从而有,, (6.5.14),,定义,6.5.2,,若带权的插值型求积公式具有,2,n,+1,次代数精度,,,则称其为,Gauss,求积公式,,,相应的求积节点,x,k,,(,k,= 0, 1,,. . .,,,,n,),称为,Gauss,点,.,与不带权的,Gauss,点的求法类似,,,,有如下定理,.,定理,6.5.2,,带权的插值求积公式中的,求积节点,x,k,,(,k,= 0, 1,,. . .,,,,n,),是,Gauss,点的充分必要条件是,,与任意次数不超过,n,,的多项式,P,(,x,),均在区间,[,a,,,b,],带权 正交,,,即满足,,推论,6.5.2,,在区间,[,a,,,b,],上,,带权 的,n,+ 1,次正交多项式,g,n+1,(,x,),的零点即为,Gauss,点,.,,,,Gauss-Chebyshev 求积公式,,其,Gauss,点为,,n,+1,次,,Chebyshev,多,项式,T,n+1,(,x,),的,零点，,即,在区间,[-1, 1],,权函数为,,,建立的,Gausss,,求积公式,为,称为,Gauss-,Chebyshev,,求积公式,.,其,求积系数,为,,,同理可以求出相应的,Gauss-,Laguerre,,公式,与,Gauss-,Hermite,,公式,.,显然仅对于某些特殊,的区间,和特殊的权函数,,,可以利用正交多项式的零点来确定,,Gauss,点。
综上，,Gauss,求积公式,构造,的方法有二：,,待定系数法，即,解,关于,A,k,和,x,k,,的非线性方程组；,,先,确定,,Gauss,点，然后再确定,其求积系数4.,Gauss 求积公式的,余项,,,收敛性与稳定性,定理,6.5.3,,设函数,f,(,x,),∈,C,2n+2,[,a,,,b,],,则,,Gauss,求积公式的余项为,,,Gauss,求积公式求积系数有如下性质,:,即,Gauss,求积公式求积系数都是正的,.,由,余项公式可直接得出,, (6.5.14),,Gauss 求积公式的数值稳定性,,设,f,(,x,k,),的近似值为,记,由,Gauss,求积公式和,A,k,> 0,,则有误差估计,令,,其中,是一个大于零的常数,.,由此可知,Gauss,求积公式是数值稳定的,.,,定理,6.5.4,,对任意的,f,∈,C[,a,,,b,],,则,Gauss,求积公式均收敛,,,即有,对于,Gauss,求积公式的收敛性,,,有如下的定理,,6.6,数值微分,,本节讨论数值微分即对于定义在区间,[,a,,,b,],上，由列表给出的函数,y,=,f,(,x,),：,x,k,,x,0,,x,1,,…,,x,n,,y,=,f,(,x,k,),f,(,x,0,),,f,(,x,1,),,…,,f,(,x,n,),,如何计算函数,f,(,x,),的导数？,,,1.,插值型数值微分公式,,,由上述列表函数,,,我们可以建立,f,(,x,),的,n,次,Lagrange,插值多项式,L,n,(,x,),,根据,f,(,x,),,L,n,(,x,),,可以得到插值型数值微分公式,,能否举个例子说明这样做,,,不总是合理的？,,由于,Lagrange,插值多项式,L,n,(,x,),的余项为,,其中,,,且依赖于,x,.,,对式,(6.6.3),两边求导得,(6.6.4),误差估计式中含有不确定函数,ξ,(,x,),的导数,可记为,,但当计算插值节点处的导数时,,,因,ω,n,+1,(,x,k,) = 0,,这时数值导数的余项公式可以表示为,从而可以对,节点,处,误差作出适当的估计,.,,,下面,,,我们在等距节点情况下讨论函数,f,(,x,),在插值节点处导数的求法,.,(6.6.4),,2.,两点数值微分公式,,,已知在两个插值节点,x,0,,,x,1,上的函数值,f,(,x,0,),,f,(,x,1,),,要计算,f,(,x,),在,x,0,,,x,1,处的导数,.,由线性插值公式,令,h,=,x,1,－,x,0,,,将上式求导得,,由余项公式,(6.6.5),可得,带余项的两点数值微分公式,,若略去余项,,,可得,两点数值微分公式,,截断误差为,O,(,h,) .,注：,h,=,x,1,－,x,0,类似可得,,3.,三点数值微分公式,,已知,f,(,x,),在三点 处的函数值分别为,f,(,x,0,),,f,(,x,1,),和,,f,(,x,2,).,,上式对,x,求导数得,次,Lagrange,插值多项式,则由二,,从而由,有,,,由式,(6.6.5),,可得,带余项的三点数值微分公式,,若略去余项,,,有,三点数值微分公式,截断误差均为,O,(,h,2,) .,,,还可以建立高阶导数的数值微分公式,.,,对,(6.6.9),再求导一次，有,故有二阶三点数值微分公式,利用式,(6.6.2),,由余项公式,(6.6.3),可得带余项的二阶三点数值微分公式,而对于,,,可以利用,Taylor,公式推出,,,4.,利用三次样条插值函数求数值导数,,基本思想,就是在区间,[,a,,,b,],上,,,根据互异的节点,,,a,=,x,0,<,x,1,<,x,2,< . . . <,x,n,=,b,,及,函数值,y,k,=,f,(,x,k,) (,k,= 0, 1, … , n) ,,构造三次样条函数,S,(,x,),,于是,,f,(,x,),,S,(,x,).,从而,所以可以利用它们来计算,f,(,x,),的各阶数值导数,(,一阶,,,二阶和三阶,).,,,以三弯矩公式为例,,,有,,这里,,这样,,,从而,,,在插值节点处的导数有,,,用三次样条插值函数计算,数值导数,,,在一定条件下,,,（如,f,(,x,),有连续四阶导数）有如下误差估计式：,其中 表示的同阶无穷小量,,.,,因此，用三次样条插值函数求数值导数比用插值多项式可靠性大．,具体解法如下：,,首先构造一个三次样条插值函数，,,然后对其求导，用计算出的导函数作为,f',(,x,),的近似值,.,,,5.,数值微分的外推算法,由三点数值微分公式,( 6.6.11 ),下面研究上式的截断误差,.,,,有,,由,Taylor,公式有,上两式相减整理后,,,得,,,上两式相减整理后,,,得,即得,由,对于固定的,x,,,上式的误差估计式正好符合,Richardson,外推算法,.,,是与,h,,无关的常数,.,,,由,外推算法,,,选取,,有,,其中 逼近于 的误差为,.,,此算法的控制条件是,ε,是预先给定的精度,,本章小结,数值积分的基本概念、思想与理论,,数值积分公式、插值型数值积分公式、余项、代数精度、收敛阶,,插值型数值积分及其数值稳定性,,Newton-Cotes,公式，,复化求积,公式,、变步长的求积,公式,、,Richardson外推算法与,Romberg,求积公式、,Gauss,求积公式,,数值微分,的思想与各种方法,,两点、三点数值微分公式、样条插值函数求数值导数、外推算法,,本章结束,,准备复习考试了！,,。
