单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,统计学,从数据到结论,第九章 方差分析,试验设计问题,一个养蟹户要遇到许多影响生产的因素或因子（,factor,），如水温，饲料，水质等要想稳定高产，就要进行各种因素的不同水平,(level),的搭配（组合）试验这里的“水平”就是一个因素可能取的值如有三种饲料，那饲料因素就有三个水平而如果水温有四种水平，则水温和饲料就有12种可能的搭配试验设计问题,试验设计模型可以说就是回归模型的一种试验设计问题本身有很大一部分是如何设计试验，使得人们有可能用最少的资源得到最好的结果这里，我们不打算详细讨论如何设计试验，而把主要精力放在试验设计数据的方差分析和建立线性模型上方差分析,方差分析（analysis of variance，ANOVA）是分析各个自变量对因变量影响的一种方法这里的自变量就是定性变量的因子及可能出现的称为协变量（covariate）的定量变量分析结果是由一个方差分析表表示的方差分析,原理为：把因变量的值随着自变量的不同取值而得到的变化进行分解，使得每一个自变量都有一份贡献，最后剩下无法用已知的原因解释的则看成随机误差的贡献。
然后用各自变量的贡献和随机误差的贡献进行比较（F检验），以判断该自变量的不同水平是否对因变量的变化有显著贡献输出就是F-值和检验的一些,p,-值下面看一个例子单因素方差分析回顾,饲料比较数据,n,=19头猪,用,p,=4种饲料喂养一段时间后的重量增加,问题:四种饲料是否不同?,饲料,A,B,C,D,133.8,151.2,193.4,225.8,125.3,149.0,185.3,224.6,143.1,162.7,182.8,220.4,128.9,143.8,188.5,212.3,135.7,153.5,198.6,SPSS中的,数据形式,饲料例子(继续):,饲料(fodder)为自变量,(单因子),重量增加(weight)为因变量,(一个数量变量),(SPSS计算机数据形式有所不同),饲料,A,B,C,D,133.8,151.2,193.4,225.8,125.3,149.0,185.3,224.6,143.1,162.7,182.8,220.4,128.9,143.8,188.5,212.3,135.7,153.5,198.6,均值A=,133.36,均值B=,152.04,均值C=,189.72,均值,D=220.78,对数据的描述性,输出,（SPSS）,(ANOVA-CONTRASTS/POST HOC-LSD,T2/OPTION-DES.,HOMO./MEAN PLOT),Descriptives,WEIGHT,N,Mean,Std.Deviation,Std.Error,95%Confidence Interval for Mean,Minimum,Maximum,Lower Bound,Upper Bound,A,5,133.36,6.80794,3.04460,124.9068,141.8132,125.3,143.1,B,5,152.04,6.95723,3.11137,143.4015,160.6785,143.8,162.7,C,5,189.72,6.35035,2.83996,181.8350,197.6050,182.8,198.6,D,4,220.78,6.10594,3.05297,211.0591,230.4909,212.3,225.8,Total,19,171.52,34.31137,7.87157,154.9730,188.0481,125.3,225.8,四种,饲,饲料,的,的箱,图,图,四种,饲,饲料,的,的均,值,值图,模型中的,假,假定:,涉及的检,验,验:H,0,:,m,1,=,m,p,线性模型:,公式:总,平,平方和=,组,组间平方,和,和+组内,平,平方和,其中,SST,有自由度,n-1,SSB,有自由度,p-1,SSE,有自由度,n-p,在正态,分,分布的假,设,设下,如,如果各组,增,增重均值,相,相等(零,假,假设),则,则,有自由度,为,为,p-1,和,n-p,的,F,分布.,ANOVA,WEIGHT,由,SPSS,可以得到,方,方差分析,表,表:,Sum of Squares,Df,Mean Square,F,Sig.,Between Groups,20538.698,3,6846.233,157.467,.000,Within Groups,652.159,15,43.477,Total,21190.858,18,该表说明,各,各饲料之,间,间有显著,不,不同.,(,比较一元,总,总体的),ANOVA,WEIGHT(,重量),方差分,析,析表的,说,说明:,Sum of Squares(,平方和),Df,自由度,Mean Square(,均方),F,Sig.,Between Groups,(处理),SSB,P-1,MSB=SSB/(p-1),F=,MSB/MSE,P(FF,a,),Within Groups,(误差),SSE,n-p,MSE=SSE/(n-p),Total(,总和),SST,n-1,这里,n,为观测,值,值数目,p,为水平,数,数,F,a,满足,P(FF,a,)=,a,.这是,自,自由度,为,为,p-1,和,n-p,的,F,-分布的,概,概率,Test of Homogeneity of Variances,(Arobusttest),这是,SPSS,输出之,一,一,明,白,白即可,不用,记,记住,Levene Statistic,df1,df2,Sig.,.024,3,15,.995,F,0.05,(3,15),面积=0.05,F,(3,15),分,分布密,度,度图,SPSS操作,Compare MeansOneWayANOVA:fodder(饲料)FactorWeight(重量)DependentListOptions:DescriptiveHomogeneity of VarianceMean Plot,销售数,据,据(,sales.txt,),研究这,个,个数目,的,的主要,目,目的是,看,看销售,额,额（因,变,变量）,是,是否受,到,到促销,方,方式、,售,售后服,务,务和奖,金,金这三,个,个自变,量,量的影,响,响（头,两,两个是,定,定性变,量,量，亦,称,称为因,子,子，分,别,别有3,个,个和2,个,个水平,；,；而定,量,量变量,奖,奖金是,协,协变量,）,）以及,怎,怎样的,影,影响。
9.1,方,方差,分,分析,(只考,虑,虑主效,应,应,不,考,考虑交,互,互效应,及,及协变,量,量),首先假,定,定因变,量,量受到,的,的仅有,主,主效应,（,（,main effect,）而没,有,有交互,效,效应（,interaction,）和协,变,变量的,影,影响主效应,就,就是每,个,个自变,量,量对因,变,变量的,单,单独影,响,响，而,交,交互效,应,应是当,两,两个或,更,更多的,自,自变量,的,的某些,水,水平同,时,时出现,时,时除了,主,主效应,之,之外的,附,附加影,响,响9.1,方,方,差,差,分,分,析,析,(,只,只,考,考,虑,虑,主,主,效,效,应,应,不,不,考,考,虑,虑,交,交,互,互,效,效,应,应,及,及,协,协,变,变,量,量),拿,我,我,们,们,例,例,子,来,说,说,，,，,当,当,单,单,独,独,考,考,虑,虑,时,时,，,，,假,假,定,定,主,主,动,动,促,促,销,销,比,比,被,被,动,动,促,促,销,销,可,可,以,以,多,多,产,产,生,生,8,万,元,元,效,效,益,益,，,，,而,而,有,有,售,售,后,后,服,服,务,务,比,比,没,没,有,有,售,售,后,后,服,服,务,务,多,多,产,产,生,生,9,万,元,元,效,效,益,益,。
那,那,么,么,在,在,没,没,有,有,交,交,互,互,作,作,用,用,时,时,，,，,同,同,时,时,采,采,取,取,主,主,动,动,促,促,销,销,和,和,售,售,后,后,服,服,务,务,会,会,产,产,生,生,8,9,17,万,元,元,的,的,效,效,益,益,（,（,称,称,为,为,可,可,加,加,的,的,）,）,但,如,如,果,果,存,存,在,在,交,交,互,互,效,效,应,应,，,，,那,那,么,么,同,同,时,时,采,采,取,取,主,主,动,动,促,促,销,销,和,和,售,售,后,后,服,服,务,务,会,会,产,产,生,生,一,一,个,个,附,附,加,加,的,的,效,效,应,应,即,即,交,交,互,互,效,效,应,应,（,（,可,可,能,能,是,是,正,正,面,面,的,的,，,，,也,也,可,可,能,能,是,是,负,负,面,面,的,的,）,）,，,，,这,这,时,时,的,的,总,总,效,效,应,应,就,就,不,不,是,是,17,万元,了,了如只,考,考虑主效,应,应用,y,表示,销,销售,额,额，,a,i,表示,促,促销,（,（下,标,标表,示,示不,同,同水,平,平）,，,，,b,j,表示,售,售后,服,服务,；,；则,相,相应,的,的只,有,有主,效,效应,的,的线,性,性模,型,型为,：,：,这里,的,的下,标,标i,代,代表,促,促销,的,的水,平,平，,下,下标j代,表,表是,否,否有,售,售后,服,服务,，,，下,标,标k,代,代表,每,每种ij,组,组合,中,中的,第,第k,个,个观,测,测；,最,最后,一,一项,e,ijk,为随,机,机误,差,差。
9.1,方,方差,分,分析,(只,考,考虑,主,主效,应,应,不,不考,虑,虑交,互,互效,应,应及,协,协变,量,量),公式:总,平,平方,和,和=,组,组间,平,平方,和,和+,组,组内,平,平方,和,和,其中,SSA,有自,由,由度,p-1,SSB,有自,由,由度,q-1,SSE,有自,由,由度(,p-1,)(,q-1,),在,在正,态,态分,布,布的,假,假设,下,下,如,如,果,果各,组,组增,重,重均,值,值相,等,等(,零,零假,设,设),则,则,分别有自,由,由度为,p,-1和(p-1)(q,-,1)及,自,自,由,由,度,度,为,为,q,-1和(p-1)(q,-,1),的,的,F,分,布,布.,用,我,我,们,们,数,数,据,据,拟,拟,合,合,这,这,个,个,模,模,型,型,，,，SPSS,输,输,出,出,为,为,促,销,销(,promot,),的,的,F,检,验,验,统,统,计,计,量,量(,其,其,自,自,由,由,度,度,来,来,自,自,promot,和,error,的,自,自,由,由,度,度:,2,20,),取,取,值,值,为,为,13.880,p,-,值,为,为,0.000,(,更,更,精,精,确,确,些,些,是,是,0.0001658,).而,售,售,后,后,服,服,务,务,的,的,F,检,验,验,统,统,计,计,量,量,为,为,25.497,，,p,-,值,为,为,0.000,(,更,更,精,精,确,确,些,些,是,是,0.00006135,).R,2,为0.981.,这,里,里,的,的,估,估,计,计,只,只,有,有,相,相,对,对,意,意,义,义,。
一,一,定,定,要,要,放,放,在,在,模,模,型,型,中,中,，,，,或,或,者,者,考,考,虑,虑,同,同,一,一,因,因,子,子,水,水,平,平,之,之,间,间,的,的,差,差,，,，比,如,如,a,1,-,a,3,、,a,2,-,a,3,、,b,1,-,b,2,等,等,等,对,于,于,这,这,个,个,模,模,型,型,，,，,参,参,数,数,估,估,计,计,为,为,这,个,个,模,模,型,型,还,还,可,可,以,以,有,有,截,截,距,距,，,，。
