第一章 函数·极限·连续一. 填空题1. 已知 定义域为___________.解. , , 2．设, 则a = ________.解. 可得=, 所以 a = 2.3. =________.解. <<所以 <<, (n®¥), (n®¥)所以 =4. 已知函数 , 则f[f(x)] _______.解. f[f(x)] = 1.5. =_______.解. =6. 设当的3阶无穷小, 则解. ( 1 ) ( 2 ) 由( 1 ): 由( 2 ): 7. =______.解. 8. 已知(¹ 0 ¹ ¥), 则A = ______, k = _______.解. 所以 k－1=1990, k = 1991; 二. 选择题1. 设f(x)和j(x)在(－¥, +¥)内有定义, f(x)为连续函数, 且f(x) ¹ 0, j(x)有间断点, 则(a) j[f(x)]必有间断点 (b) [ j(x)]2必有间断点 (c) f [j(x)]必有间断点 (d) 必有间断点解. (a) 反例 , f(x) = 1, 则j[f(x)]=1(b) 反例 , [ j(x)]2 = 1(c) 反例 , f(x) = 1, 则f [j(x)]=1(d) 反设 g(x) = 在(－¥, +¥)内连续, 则j(x) = g(x)f(x) 在(－¥, +¥)内连续, 冲突. 所以(d)是答案.2. 设函数, 则f(x)是(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数解. (b)是答案.3. 函数在下列哪个区间内有界(a) (－1, 0) (b) (0, 1) (c) (1, 2) (d) (2, 3)解. 所以在(－1, 0)中有界, (a) 为答案.4. 当的极限(a) 等于2 (b) 等于0 (c) 为 (d) 不存在, 但不为解. . (d)为答案.5. 极限的值是(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在解. =, 所以(b)为答案.6. 设, 则a的值为(a) 1 (b) 2 (c) (d) 均不对解. 8 = = =, , 所以(c)为答案.7. 设, 则a, b的数值为(a) a = 1, b = (b) a = 5, b = (c) a = 5, b = (d) 均不对解. (c)为答案.8. 设, 则当x®0时(a) f(x)是x的等价无穷小 (b) f(x)是x的同阶但非等价无穷小(c) f(x)比x较低价无穷小 (d) f(x)比x较高价无穷小解. =, 所以(b)为答案.9. 设, 则a的值为(a) －1 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. , 1 + a = 0, a = －1, 所以(a)为答案.10. 设, 则必有(a) b = 4d (b) b =－4d (c) a = 4c (d) a =－4c解. 2 ==, 所以a =－4c, 所以(d)为答案.三. 计算题1. 求下列极限(1) 解. (2) 解. 令=(3) 解. = ==.2. 求下列极限(1) 解. 当x®1时, , . 依据等价无穷小代换 (2) 解. 方法1：== == = = = =方法2： == == = = =3. 求下列极限(1) 解. (2) 解. (3) , 其中a > 0, b > 0解. =4. 设试探讨在处的连续性与可导性.解. 所以 , 在处连续可导.5. 求下列函数的间断点并判别类型(1) 解. , 所以x = 0为第一类间断点.(2) 解. f(+0) =－sin1, f(－0) = 0. 所以x = 0为第一类跳动间断点; 不存在. 所以x = 1为其次类间断点; 不存在, 而,所以x = 0为第一类可去间断点; , (k = 1, 2, …) 所以x =为其次类无穷间断点.6. 探讨函数 在x = 0处的连续性.解. 当时不存在, 所以x = 0为其次类间断点; 当, , 所以 时,在 x = 0连续, 时, x = 0为第一类跳动间断点.7. 设f(x)在[a, b]上连续, 且a < x1 < x2 < … < xn < b, ci (I = 1, 2, 3, …, n)为随意正数, 则在(a, b)内至少存在一个x, 使 .证明: 令M =, m =所以 m £ £ M所以存在x( a < x1 £ x £ xn < b), 使得8. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.证明: 假设F(x) = f(x)－x, 则F(a) = f(a)－a < 0, F(b) = f(b)－b > 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.9. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 £ f(x) £ 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个x, 使f(x) = x.证明: (反证法) 反设. 所以恒大于0或恒小于0. 不妨设. 令, 则. 因此. 于是, 冲突. 所以在[0, 1]内至少存在一个x, 使f(x) = x.10. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = g(x).证明: 假设F(x) = f(x)－g(x), 则F(a) = f(a)－g(a) < 0, F(b) = f(b)－g(b) > 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.11. 证明方程x5－3x－2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根.证明: 令F(x) = x5－3x－2, 则F(1) =－4 < 0, F(2) = 24 > 0所以 在(1, 2)内至少有一个x, 满意F(x) = 0.12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且, 求及.解. . 所以 . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以在x = 0连续. 所以f(0) = －3. 因为 , 所以, 所以 = 由, 将f(x)台劳绽开, 得 , 所以, 于是.(本题为2005年教材中的习题, 2008年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)其次章 导数与微分一. 填空题1 . 设, 则k = ________.解. , 所以所以 2. 设函数y = y(x)由方程确定, 则______.解. , 所以 3. 已知f(－x) =－f(x), 且, 则______.解. 由f(－x) =－f(x)得, 所以所以 4. 设f(x)可导, 则_______.解. =+=5. , 则= _______.解. , 假设, 则 , 所以6. 已知, 则_______.解. , 所以. 令x2 = 2, 所以7. 设f为可导函数, , 则_______.解. 8. 设y = f(x)由方程所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.解. 上式二边求导. 所以切线斜率 . 法线斜率为, 法线方程为 , 即 x－2y + 2 = 0.二. 选择题1. 已知函数f(x)具有随意阶导数, 且, 则当n为大于2的正整数时, f(x)的n阶导数是(a) (b) (c) (d) 解. , 假设=, 所以 =, 按数学归纳法 =对一切正整数成立. (a)是答案.2. 设函数对随意x均满意f(1 + x) = af(x), 且b, 其中a, b为非零常数, 则(a) f(x)在x = 1处不行导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且a(c) f(x)在x = 1处可导, 且b (d) f(x)在x = 1处可导, 且ab解. b ==, 所以ab. (d)是答案注: 因为没有假设可导, 不能对于二边求导.3. 设, 则使存在的最高阶导数n为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. . 所以n = 2, (c)是答案.4. 设函数y = f(x)在点x0处可导, 当自变量x由x0增加到x0 + Dx时, 记Dy为f(x)的增量, dy为f(x)的微分, 等于(a) －1 (b) 0 (c) 1 (d) ¥解. 由微分定义Dy = dy + o(Dx), 所以. (b)是答案.5. 设 在x = 0处可导, 则(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b为随意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b为随意常数解. 在x = 0处可导肯定在x = 0处连续, 所以 , 所以b = 0. , , 所以 0 = a. (c)是答案.三. 计算题1. 解. 2. 已知f(u)可导, 解. =3. 已知, 求.解. 4. 设y为x的函数是由方程确定的, 求.解. , 所以四. 已知当x £ 0时, f(x)有定义且二阶可导, 问a, b, c为何值时 二阶可导.解. F(x)连续, 所以, 所以c = f(－0) = f(0);因为F(x)二阶可导, 所以连续, 所以b = , 且 存在, 所以, 所以 , 所以 五. 已知.解. , k = 0, 1, 2, … , k = 0, 1, 2, …六. 设, 求.解. 运用莱布尼兹高阶导数公式 =所以 第三章 一元函数积分学(不定积分)一. 求下列不定积分:1. 解. 2. 3. 解. 4. 解. 方法一: 令, = 方法二: ==5． 二. 求下列不定积分:1. 解. =2. 解. 令x = tan t, =3. 解. 令 =4. (a > 0)解. 令 =5. 解. 令 = = = =6. 解. 令 =7. 解. 令 三. 求下列不定积分:1. 解. 2. 解. 令, =四. 求下列不定积分:1. 解. = = 2. 解. 五. 求下列不定积分:1. 解. 2. 解. = 3. 解. 4. 解. \5. 六. 求下列不定积分:1. 解. = = = = =2. 解. =3. 解. 七. 设 , 求.解. 考虑连续性, 所以 c =－1+ c1, c1 = 1 + c 八. 设, (a, b为不同时为零的常数), 求f(x).解. 令, , 所以 =九. 求下列不定积分:1. 解. 2. 解. 3. 解. 4. 解. 十. 求下列不定积分:1. 解. 2. 解. 令 3. 解. 4. 解. 十一. 求下列不定积分:1. 解. 2. 解. 3. 解. 4. (a > 0)解. = = = = = =十二. 求下列不定积分:1. 解. 2. 解. =3. 解. = = =十三. 求下列不定积分:1. 解. 2. 解. 3. 解. 令 第三章 一元函数积分学(定积分)一．若f(x)在[a，b]上连续, 证明: 对于随意选定的连续函数F(x), 均有, 则f(x) º 0.证明: 假设f(x)¹ 0, a < x < b, 不妨假设f(x) > 0. 因为f(x)在[a，b]上连续, 所以存在d > 0, 使得在[x－d, x + d]上f(x) > 0. 令m = . 按以下方法定义[a，b]上F(x): 在[x－d, x + d]上F(x) =, 其它地方F(x) = 0. 所以 .和冲突. 所以f(x) º 0.二. 设l为随意实数, 证明: =.证明: 先证: =令 t =, 所以 = 于是=所以 =.所以 同理 .三．已知f(x)在[0，1]上连续, 对随意x, y都有|f(x)－f(y)| < M|x－y|, 证明 证明: , 四. 设, n为大于1的正整数, 证明: .证明: 令t =, 则因为 > 0, (0 < t < 1). 所以于是 马上得到 .五. 设f(x)在[0, 1]连续, 且单调削减, f(x) > 0, 证明: 对于满意0 < a < b < 1的任何 a, b, 有 证明: 令 (x ³ a), ., (这是因为t £ a, x ³ a, 且f(x)单减).所以 , 马上得到六. 设f(x)在[a, b]上二阶可导, 且< 0, 证明: 证明: "x, tÎ[a, b], £令 , 所以二边积分 =.七. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且单调不增, 证明: 任给a Î (0, 1), 有 证明: 方法一: 令(或令) , 所以F(x)单增; 又因为F(0) = 0, 所以F(1) ³ F(0) = 0. 即 , 即 方法二: 由积分中值定理, 存在xÎ[0, a], 使;由积分中值定理, 存在hÎ[a, 1], 使因为 .所以 八. 设f(x)在[a, b]上连续, 在[a, b]内存在而且可积, f(a) = f(b) = 0, 试证: , (a < x < b)证明: , 所以 , 即 ;即 所以 即 , (a < x < b)九. 设f(x)在[0, 1]上具有二阶连续导数, 且, 试证: 证明: 因为（0，1）上f(x) ¹ 0, 可设 f(x) > 0因为f(0) = f(1) = 0$x0 Î (0,1)使 f(x0) = (f(x))所以> （1）在（0，x0）上用拉格朗日定理 在（x0, 1）上用拉格朗日定理 所以（因为）所以由（1）得十. 设f(x)在[0, 1]上有一阶连续导数, 且f(1)－f(0) = 1, 试证: 证明: 十一. 设函数f(x)在[0, 2]上连续, 且= 0, = a > 0. 证明: $ x Î [0, 2], 使|f(x)| ³ a.解. 因为f(x)在[0, 2]上连续, 所以|f(x)|在[0, 2]上连续, 所以$ x Î [0, 2], 取x使|f(x)| = max |f(x)| (0 £ x £ 2)使|f(x)| ³ |f(x)|. 所以 第三章 一元函数积分学(广义积分)一. 计算下列广义积分:(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解. (1) (2) (3) 因为, 所以积分收敛.所以=2 (4) (5) (6) 第四章 微分中值定理一. 设函数f(x)在闭区间[0, 1]上可微, 对于[0, 1]上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且, 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x.证明: 由条件知0 < f(x) < 1. 令F(x) = f (x)－x, 于是F(0) > 0, F(1) < 0, 所以存在x Î (0, 1), 使F(x) = 0. 假设存在x1, x2 Î (0, 1), 不妨假设x2 < x1, 满意f(x1) = x1, f(x2) = x2. 于是 x1－x2 = f(x1)－f(x2) = . (x2 < h < x1). 所以, 冲突.二. 设函数f(x)在[0, 1]上连续, (0, 1)内可导, 且. 证明: 在(0, 1)内存在一个x, 使.证明: , 其中x1满意.由罗尔定理, 存在x, 满意0 < x < x1, 且 .三．设函数f(x)在[1, 2]上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x－1)2f(x), 证明: 在(1, 2)内至少存在一个x, 使 .证明: 由于F(1) = F(2) = 0, 所以存在x1, 1 < x1 < 2, 满意. 所以.所以存在x, 满意1 < x < x1, 且 .四. 设f(x)在[0, x](x > 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个x, 使.证明: 令F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在[0, x]上运用柯西定理 , x Î (0, x)所以 , 即.五. 设f(x)在[a, b]上可导, 且ab > 0, 试证: 存在一个x Î (a, b), 使 证明: 不妨假设a > 0, b > 0. 令. 在[a, b]上运用拉格朗日定理 六. 设函数f(x), g(x), h(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 证明:存在一个x Î (a, b), 使 证明: 令, 则F(a) = F(b) = 0, 所以存在一个x Î (a, b), 使 七. 设f(x)在[x1, x2]上二阶可导, 且0 < x1 < x2, 证明:在(x1, x2)内至少存在一个x, 使 证明: 令, 在[x1, x2]上运用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个x, 满意 .八. 若x1x2 > 0, 证明: 存在一个x Î (x1, x2)或(x2, x1), 使 证明: 不妨假设0 < x1 < x2. 令, 在[x1, x2]上运用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个x, 满意 马上可得 .九. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a) = f(b) = 0, g(x) ¹ 0, 试证: 至少存在一个x Î (a, b), 使 证明: 令, 所以F(a) = F(b) = 0. 由罗尔定理至少存在一个x Î (a, b), 使 , 于是 .十. 设f(x) 在[a, b]上连续 ,在(a, b)内可导, 证明在(a, b) 存在.解. 对运用柯西定理: 所以 对左端运用拉格朗日定理: 即 第五章 一元微积分的应用一. 选择题1. 设f(x)在(－¥, +¥)内可导, 且对随意x1, x2, x1 > x2时, 都有f(x1) > f(x2), 则(a) 对随意x, (b) 对随意x, (c) 函数f(－x)单调增加 (d) 函数－f(－x)单调增加解. (a) 反例:, 有; (b) 反例:; (c) 反例:, 单调削减; 解除(a), (b), (c)后, (d)为答案. 详细证明如下:令F(x) = －f(－x), x1 > x2, －x1 < －x2. 所以F(x1) =－f(－x1) > －f(－x2) = F(x2).2. 曲线的渐近线有(a) 1条 (b) 2条 (c) 3条 (d) 4条解. 为水平渐近线; 为铅直渐近线; 所以只有二条渐近线, (b)为答案.3. 设f(x)在[－p, +p]上连续, 当a为何值时, 的值为微小值.(a) (b) (c) (d) 解. 为a的二次式.所以当a =, F(a)有微小值.4. 函数y = f(x)具有下列特征:f(0) = 1; , 当x ¹ 0时, ; , 则其图形(a) (b) (c) (d) 1 1 1 1解. (b)为答案.5. 设三次函数, 若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是(a) 关于y轴对称 (b) 关于原点对称 (c) 关于直线y = x轴对称 (d) 以上均错解. 假设两个极值点为x = t及 x = －t (t ¹ 0), 于是f(t) =－f(－t). 所以 , 所以b + d = 0的根为 x = ± t, 所以 b = 0. 于是d = 0. 所以 为奇函数, 原点对称. (b)为答案.6. 曲线与x轴所围图形面积可表示为(a) (b) (c) (d) 解. 0 1 2 由图知(c)为答案.二. 填空题1. 函数 (x > 0)的单调削减区间______.解. , 所以0 < x < .2. 曲线与其在处的切线所围成的部分被y轴分成两部分, 这两部分面积之比是________.解. , 所以切线的斜率为k =切线方程: , 曲线和切线的交点为. (解曲线和切线的联立方程得, 为其解, 所以可得, 解得.)比值为 3. 二椭圆, ( a > b > 0)之间的图形的面积______.解. 二椭圆的第一象限交点的x坐标为 . 所以所求面积为 == = 4paba=4. x2 + y2 = a2绕x =－b(b > a > 0)旋转所成旋转体体积_______.解. －b a由图知 = =(5) 求心脏线r = 4(1+cosq)和直线q = 0, q =围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积_____.解. 极坐标图形绕极旋转所成旋转体体积公式 所以 =三. 证明题1. 设f(x)为连续正值函数, 证明当x ³ 0时函数单调增加.证明. 上述不等式成立是因为 f(x) > 0, t < x.2. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内, 证明在(a, b)内单增.证明. 假设a < x1 < x2 < b, (a < x1
