单击此处编辑母版标题样式,*,7,7,平面及其方程,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,法线向量、,平面的点法式方程,特殊的平面、,平面的一般方程、,截距式方程,两平面的夹角、,两平面夹角的余弦,两平面平行与垂直的条件,点到平面的距离公式,一、平面的点法式方程,法线向量：,如果一非零向量垂直于一平面，,这向量就叫做该平面的法线向量,或者叫法矢,x,y,z,O,n,唯一确定平面的条件：,如果一非零向量垂直于一平面，,这向量就电做该平面的法线向量,x,y,z,O,M,0,过一定点,M,0,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),的平面,有无穷个,一、平面的点法式方程,法线向量：,唯一确定平面的条件：,法线向量：,如果一非零向量垂直于一平面，,这向量就电做该平面的法线向量,x,y,z,O,M,0,过一定点,M,0,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),的平面,有无穷个,一、平面的点法式方程,唯一确定平面的条件：,一、平面的点法式方程,法线向量：,如果一非零向量垂直于一平面，,这向量就电做该平面的法线向量,x,y,z,O,M,0,过一定点,M,0,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),的平面,有无穷个,唯一确定平面的条件：,一、平面的点法式方程,法线向量：,如果一非零向量垂直于一平面，,这向量就电做该平面的法线向量,x,y,z,O,M,0,过一定点,M,0,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),并有确定,法向量,A,，,B,，,C,的平面只有一个,过一定点,M,0,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),的平面,有无穷个,n,唯一确定平面的条件：,一、平面的点法式方程,法线向量：,如果一非零向量垂直于一平面，,这向量就电做该平面的法线向量,x,y,z,O,M,0,过一定点,M,0,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),并有确定,法向量,A,，,B,，,C,的平面只有一个,过一定点,M,0,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),的平面,有无穷个,n,平面方程的建立：,设,M,(,x,，,y,，,z,),是平面,上的任一点,必与平面,的法线向量,n,垂直，,设,M,0,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),为平面,上一点，,n,A,，,B,，,C,一个法线向量,为平面,的,即它们的数量积等于零：,由于,n,A,，,B,，,C,，,所以,A,(,x,x,0,),B,(,y,y,0,),C,(,z,z,0,),0,这就是平面,的方程,此方程叫做平面的点法式方程,x,y,z,O,M,0,M,n,即,x,2,y,3,z,8,0,例,1,求过点,(2,，,3,，,0),且以,n,1,，,2,，,3,为法线向量的平,面的方程,解,根据平面的点法式方程，,得所求平面的方程为,(,x,2),2(,y,3),3,z,0,，,解 先求出这平面的法线向量,n,例,2,求过三点,M,1,(2,，,1,，,4),、,M,2,(,1,，,3,，,2),和,M,3,(0,，,2,，,3),的平面的方程,x,y,z,O,M,1,M,2,M,3,可取,n,根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为,14(,x,2),9(,y,1),(,z,4),0,，,即,14,x,9,y,z,15,0,14,i,9,j,k,，,解 先求出这平面的法线向量,n,例,2,求过三点,M,1,(2,，,1,，,4),、,M,2,(,1,，,3,，,2),和,M,3,(0,，,2,，,3),的平面的方程,可取,方法二：设平面方程为,A,（,x-2,）,+B,（,y+1,）,+C,（,Z-4,）,=0,点,M,2,、,M,3,满足方程，代入方程：,解之得：,因此有：,二、平面的一般方程,所以任一三元一次方程,A,x,B,y,C,z,D,0,的图形总是一个平面,任一平面都可以用它上面的一点,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),及它的法线向量,方程的一组数,x,0,，,y,0,，,z,0,，即,A,x,0,B,y,0,C,z,0,D,0,反过来，设有三元一次方程,A,x,B,y,C,z,D,0,任取满足该,由于方程,A,x,B,y,C,z,D,0,与方程,A,(,x,x,0,),B,(,y,y,0,),C,(,z,z,0,),0,同解，,n,A,，,B,，,C,来确定，,平面的点法式方程是三元一次方程,A,(,x,x,0,),B,(,y,y,0,),C,(,z,z,0,),0,则有,A,(,x,x,0,),B,(,y,y,0,),C,(,z,z,0,),0,，,这是平面的点法式方程,方程,A,x,B,y,C,z,D,0,称为平面的一般方程,平面的法线向量为,n,A,，,B,，,C,考察下列特殊的平面，指出法线向量与坐标面、坐标轴的关,系，平面与坐标面、坐标轴的关系，平面通过的特殊点或线,例如，,方程,3,x,4,y,z,9,0,表示一个平面，,n,3,，,4,，,1,是这平面的一个法线向量,讨论：,D=,0,：,A,x,B,y,C,z,0,A,=0,：,B,y,C,z,D,0,B,=0,：,A,x,C,z,D,0,C,=0,：,A,x,B,y,D,0,A,=,B,=0,：,C,z,D,0,B,=,C,=0,：,A,x,D,0,A,=,C,=0,：,B,y,D,0,将其代入所设方程并除以,B,(,B,0),，便得所求的平面方程为,y,3,z,0,例,3,求通过,x,轴和点,(4,，,3,，,1),的平面的方程,解 由于平面通过,x,轴，从而它的法线向量垂直于,x,轴，,于是法线向量在,x,轴上的投影为零，即,A,0,又由于平面通过,x,轴，它必通过原点，于是,D,0,因此可设这平面的方程为,By,Cz,0,又因为这平面通过点,(4,，,3,，,1),，所以有,3,B,C,0,，,或,C,3B,例,4,设一平面与,x,、,y,、,z,轴的交点依次为,P,(,a,0,0),、,Q,(0,b,0),、,R,(0,0,c,),三点，,求这平面的方程,(,其中,a,0,，,b,0,，,c,0),x,y,z,O,P,(,a,0,0),R,(0,0,c,),Q,(0,b,0),n,解 设所求平面的方程为,A,x,B,y,C,z,D,0,因,P,(,a,0,0),、,Q,(0,b,0),、,R,(0,0,c,),三点都在这平面上，所以点,P,、,Q,、,R,的坐标都满足所设方程；即有,解得,将其代入所设方程并除以,D,(D,0),，便得所求的平面方程为,此方程称为,截距式方程,而,a,b,c,依次叫做,例,4,设一平面与,x,、,y,、,z,轴的交点依次为,P,(,a,0,0),、,Q,(0,b,0),、,R,(0,0,c,),三点，,求这平面的方程,(,其中,a,0,，,b,0,，,c,0),平面在,x,y,z,轴上的截距,1,三、两平面的夹角,两平面的夹角：,两平面的法线向量的夹角,(,通常指锐角,),称为两平面的平角,),q,2,),q,n,2,n,1,来确定,设平面,1,和,2,的法线向量分别为,n,1,A,1,，,B,1,，,C,1,，,n,2,A,2,，,B,2,，,C,2,那么平面,1,和,2,的夹角,应是,(,n,1,n,2,),和,(,-,n,1,n,2,)=,p-,(,n,1,n,2,),两者中的锐角，,因此，,cos,|cos(,n,1,n,2,)|,按两向量夹角余弦的坐标表示式，平面,1,和,2,的夹角,可由,cos,从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：,（,1,）平面,1,和,2,互相,垂直当且仅当,A,1,A,2,B,1,B,2,C,1,C,2,0,；,（,2,）平面,1,和,2,互相,平行或重合当且仅当,例,5,求两平面,x,y,2,z,6,0,和,2,x,y,z,5,0,的夹角,解,n,1,A,1,，,B,1,，,C,1,1,，,1,，,2,，,n,2,A,2,，,B,2,，,C,2,2,，,1,，,1,，,cos,例,6,一平面通过两点,M,1,(1,，,1,，,1),和,M,2,(0,，,1,，,1),且垂直于,平面,x,y,z,0,，求它的方程,解 设所求平面的法线向量为,n,A,，,B,，,C,1,，,0,，,2,已知另一平面的法线向量为,所以可取,2,i,j,k,，,从而所求平面方程为,2(,x,1),(,y,1),(,z,1),0,，即,2,x,y,z,0,n,1,1,，,1,，,1,由已知条件，有,n,，,n,n,1,n,=,n,1,设,P,0,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),是平面,A,x,B,y,C,z,D,0,外一点，求,P,0,到,这平面的距离,点到平面的距离：,在平面上任取一点,P,1,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),，,并作一法线向量,n,，,则,P,0,到这平面的距离为,设,n,为与向量同向的单位向量，则有,P,0,P,1,N,n,又因,Ax,1,By,1,Cz,1,D,0,，,所以,由此得点,P,0,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),到平面,A,x,B,y,C,z,D,0,的距离公式,：,例,7,求点,(2,，,1,，,1),到平面,x,y,z,1,0,的距离,解,d,所以点到平面的距离,d,。
