第十八章《勾股定理》教材分析及教学建议本章主要内容是勾股定理及其逆定理首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题在此基础上，引入勾股 定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念本章教学时间约需8课时，具体安排如下：18. 1勾股定理 4 课时19. 2 勾股定理的逆定理 3 课时数学活动小结 1 课时、教科书内容和课程学习目标 本章知识结构框图：互逆定理直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余， 30的角所对的直角边等 于斜边的一半本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以 解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大它不 仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类 的语言、音乐、各种图形等据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇 宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发现 勾股定理，尤其在 2000多年前，是非常了不起的成就在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边 为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形 的面积，从而发现勾股定理勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变在教科书中，图 18.1 -3 (1)中的图形经过割补拼接后得到图19.1 —3（3）中的图形由此就证明了勾股定理通过推理证实命题 1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理由勾股定理可知，已知两条直角边的长 a,b,就可以求出斜边c的长由勾股定理可得以，二白2一占二或由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长教科书相应安排了三个探究栏目，让学生运用 勾股定理解决问题在第二节中，教科书让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角 形是直角三角形从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直 角三角形。
这个猜想可以利用全等三角形证明，得到勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法教科书安排了两个例题，让学生学会 运用这种方法这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它通过代数运算“算”出来实际上利用计算 证明几何问题学生已经见过，计算在几何里也是很重要的从这个意义上讲，勾股定理的逆定理的学习， 对开阔学生眼界，进一步体会数学中的各种方法有很大的意义几何中有许多互逆的命题，互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题 和互逆定理是几何中的重要概念学生已见过一些互逆命题（定理），例如：“两直线平行，内错角相等” 与“内错角相等，两直线平行”；“全等三角形的对应边相等”与“对应边相等的三角形是全等三角形” 等，都是互逆命题勾股定理与勾股定理的逆定理也是互逆的命题，而且这两个命题的题设和结论都比较 简单因此，教科书在前面已有感性认识的基础上，在第二节中，结合勾股定理的逆定理的内容的展开， 穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立为巩固这些内容，相应 配备了一些练习与习题本章学习目标如下：1 .体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；2 .会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；3 .通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定 成立。
二、本章编写特点（一）让学生体验勾股定理的探索和运用过程勾股定理的发现从传说故事讲起，从故事中可以发现等腰直角三角形有这样的性质：以等腰直角三角 形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积再看一些其他直角三角形, 发现也有上述性质因而猜想所有直角三角形都有这个性质，即如果直角三角形的两直角边长分别为 斜边长为匚，那么疗口 +&'=/（教科书把这个猜想记作命题1,把下节“如果三角形的三边长 明瓦匚满足0=十上，=/,那么这个三角形是直角三角形”记作命题 2,便于引出互逆命题）教科书让学生用勾股定理探究三个问题探究 1是木板进门问题按照已知数据，木板横着、竖着都不能进门，只能斜着试试由此想到求长方形门框的对角线的长，而这个问题可以用勾股定理解决探究 2是梯子滑动问题：梯子顶端滑动一段距离，梯子的底端是否也滑动相同的距离这个问题可以转化为已知 斜边与一条直角边的长求另一条直角边的长的问题，这也可以用勾股定理解决探究3是在数轴上画出表示 小 的点分以下四步引导学生：（1）将在数轴上画出表示 屈 的点的问题转化为画出长为 厢 的线段的问题2）由长为 J5的线段是直角边都为 1的直角三角形的斜边，联想到长为 距的线段能否是直角边为 正整数的直角三角形的斜边。
3）通过尝试发现，长为 屈的线段是直角边为 2,3的直角三角形的斜边4）画出长为,两 的线段，从而在数轴上画出表示 上 的点二）结合具体例子介绍抽象概念在本章中，结合勾股定理、勾股定理的逆定理介绍了定理、逆命题、逆定理的内容在勾股定理一节中，先让学生通过观察得出命题 1,然后通过面积变形证明命题 1由此说明，经过证明被确认正确的命题叫做定理在勾股定理的逆定理一节中，从古埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些三角形（已知三边， 并且两边的平方和等于第三边的平方），可以发现画出的三角形是直角三角形因而猜想如果三角形的三边长演，瓦二满足十方，二二\那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题 2把命题2的条件、结论与上节命题1的条件、结论作比较，引出逆命题的概念接着探究证明命题 2的思路用三角形全等证明命题2后，顺势引出逆定理的概念命题1,命题2属于原命题成立，逆命题也成立的情况为了防止学生由此误以为原命题成立，逆命题 一定成立，教科书特别举例说明有的原命题成立，逆命题不成立三）注重介绍数学文化我国古代的学者们对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且 使用了许多巧妙的方法证明了它，尤其在勾股定理的应用方面，对其他国家的影响很大，这些都是我国人 民对人类的重要贡献。
本章介绍了我国古代的有关研究成果在引言中介绍我国古算书《周髀算经》的记载“如果勾是三、 股是四、那么弦是五"有很多方法可以证明勾股定理教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了我国 古人赵爽的证法首先介绍赵爽弦图，然后介绍赵爽利用弦图证明命题 1的基本思路赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲正因为此，这个图案被选为 2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽还在习题中安排我国古代数学著作《九章算术》中的问题，展现我 国古人在勾股定理应用研究方面的成果本章也介绍了国外的有关研究成果如勾股定理的发现是从与毕达哥拉斯有关传说故事引入的又如 勾股定理的逆定理从古埃及人画直角的方法引入再如介绍古希腊哲学家柏拉图关于勾股数的结论三、几个值得关注的问题（一）让学生获得更多与勾股定理有关的背景知识与勾股定理有关的背景知识丰富， 除正文介绍的有关内容外， 教科书在“阅读与思考 勾股定理的证明”中介绍了另外几种证明勾股定理的方法，还安排了一个数学活动，让学生收集一些证明勾股定理的方法， 并与同学交流在教学中，应注意展现与勾股定理有关的背景知识，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾 股定理的丰富文化内涵，激发学生的学习兴趣。
特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成 就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感，同时教育学生发奋图强， 努力学习，为将来担负起振兴中华的重任打下基础二）适当总结与定理、逆定理有关的内容第3页本章中给出了定理、逆定理的概念，可以在小结中回顾已学的一些结论例如，在第七章“三角形”中， “三角形的内角和等于 180 °”是由平行线的性质与平角的定义推出的，这个结论也称为三角形内角和定理又如，在第十三章“全等三角形”中，都是利用三角形全等证明的，前一个结论也称为角的平分线的性质定理，而后一个结论是角的平分线的性质定理的逆定理这样就可以从定理、逆定理的角度认识已学的一些结论，明确其中一些结论之间的关系互逆命题、互逆定理的概念，学生接受它们困难不大，对于那些不是以“如果……那么……”形式给出的命题，叙述它们的逆命题困难较大，是教学中的一个难点解决这个难点的方法是，适当复习命题的有关内容，学会把一个命题变为“如果……那么……”的形式注意这些概念是第一次学习，不要要求过 高四、教学建议本章内容的重点与难点是勾股定理及其应用，勾股定理的互定理及其应用勾股定理是解几何题中有关线段计算问题的重要依据，也是以后学习解直角三角形的主要依据之一。
本章的难点是掌握勾股定理并能熟练的运用勾股定理要注意：在直角三角形中，反映的是直角三角形的三边关系直角三角形两直角边a,b 的平方和等于斜边的平方和在其它三角形中不存在这样的关系这是一个非常重要的定理它是 把形转化为数 ，它的应用非常广泛勾股定理的互定理则是 把数转化为形 ，通过计算判定一个三角形是否为直角三角形相关知识点回顾 ：（ 1 ）直角三角形的两个锐角互余（ 2 ）直角三角形中 30 度角所对的直角边等于斜边的一半 3 ）斜边大于任一条直角边（ 4 ）全等三角形判定方法 5 ）面积公式学生在本章学习中存在认知误区和思维障碍⑴忽视题目中的隐含条件如在 RtAABC中，/ B=90, a, b, c分别为三条边，a= 3, b=4,求边c 的长不少学生会认为 c=5,忽视了 b是斜边这一隐含条件4 2） 忽视定理成立的条件是在直角三角形中， 有的同学看到三角形的两边是 3 和 4， 就会认为第三边是 5 ，（3）考虑问题不全面造成漏解．如已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12，求第三边4）通过添加辅助线将非直角三角形转化为直角三角形. 如（a）连结两点构造直角三角形 （b）作高构造直角三角形（ c ）构造几何图形解决代数问题。
教学建议本章教学教师可采用主体性学习的教学模式， 提出问题让学生思考，设计问题让学生做，错误原因让学生找，方法与规律让学生归纳．教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索、积极思考、大 胆想象、总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为教学活动的主人本章的教学步骤可分五步：探索结论一一验证结论一一 初步应用结论一一证明结论一一应用结论解决实际问题1、在探索结论阶段，应调动学生的积极性，让学生充分参与例如，教材设计了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，教师鼓励学生尝试求出方格 中三个正方形的面积、比较这三个正方形的面积的关系，由此得到直角三角形三边的关系、通过对几个特 殊例子的考察归纳出直角三角形三边之间的一般规律，运用自己的语言表达探索过程和所得结论2、在勾股定理的探索和验证过程中，数形结合的思想有较多的体现例如，在探索勾股定理的过程中，教师应引导学生由正方形的面积想到；而在勾股定理的验证过程中, 教师又应引导学生由数想到正方形的面积.3、初步应用结论阶段的重点是让学生明确：在直角三角形中，知道两边的长度，可以求得第三边的 长度，教师应充分利用教材让学生体会勾股定理及其逆定理在现实世界中有着较为广泛的应用，如埃及人 利用结绳的方法作出直角，利用勾股定理求出蚂蚁的最短路线等。
4、证明结论阶段主要是理清思路，而不只是介绍某一种证明方法教师在教学中应激发学生探索更多 的证明方法，注意训练学生书写规范5、应用结论解决实际问题要注意强调两类问题：探索性问题和应用性问题通过问题的解决，让学生 学会从不同角度分析问题、解决问题；让学生学会引申、变更问题，以培养学生发现问题、提出问题的创 造能力例有一个边长为 50分米的正方形洞口，问用直径为多长的圆形铁片来堵住洞 y口？表面看上去这是一个有关圆的问题其实圆形铁片的直径就应该是等腰三角形的 I斜边长边长是50分米，把它看成一个直角三角形， 然后用勾股定理，两条直角边的平 果:方和等于斜边的平方就是 50x50+50x50=5000 ,答案是50,2=70.5要求学生记住勾股定理， 然后对待问题套公式， 这样可以解决一系列的问题6、注重介绍数学史，凸显数学的文化价值7、关注学生学习过程的评价，对于本章的学习，除了考查勾股定理的解题应用外，还应该关注对学 生学习过程的评价例如，让学生动手截、害U、拼、补，使学生参与定理的发现、探索、验证过程，既能 培养学生数学的直观能力，又能体现教学的针对性、活动性、开放性与合作性五常见典型错误简析(1)如何求第三边？第5页例1在RtAABC中，/ B = 90, a, b, c分别为三条边，a=3, b= 4,求边c的长。
不少学生会认为c=5,忽视了 b是斜边这一隐含条件例2判断：在^ ABC中，AC = 3, BC = 4,求AB的长不少学生会认为 AB=5,忽视了△ ABC是直角三角形这个条件例3已知直角三角形的两边长分别为 5和12,求第三边不少学生会认为第三边为 13,忽视了 12可能是直角边也可能是斜边例 4 如图，/ A =45, / B= Z D=90 , BC=1 , AD =2, 求 CD 的长不少学生会在四边形 ABCD里面加辅助线，破坏了已知的条件增加了解题的难度应该把AB,CD边 延长，构造出新的直角三角形，利用勾股定理解题2)蚂蚁怎么走最近？例5如图，有一个圆柱，它的高等于 12厘米，底面半径等于 3厘米.在圆柱的下底面 A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 A点相对的C点处的食物，需要爬行的最短路程是多少 ？(兀的值取3).本题常见错误有两个：一是不能正确地将圆柱的侧面展开，从而无法进行求解；二是误将圆柱侧面展第9页(3)木板能否经过门框？例6 一个门框的长为 2m,宽为1m,如图所示，一块长 3 m,宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？不少学生一看此题，就会给出答案：不能.而不知应先利用勾股定理求出 AC的长再进行判断。
4)梯子底端下滑几米？例7 一个3 m长的才^子AB ,斜靠在一竖直的墙 AO上，这时AO的距离为2. 5 m,如果梯子的顶端 A沿墙下滑0. 5m,那么梯子底端 B也外移0. 5吗？本题学生容易错误地理解为梯子的顶端 A沿墙下滑0. 5 m时，梯子底端C向外移动的距离是 CD ,因为梯子的长度没有改变,认为CD=AE ,得出错误解答5）湖水如何知深浅？例8荷花问题”：平平湖水清可当 忙向前，花离原位一尺远；能算诸用请解六中考热点勾股定理在中考数学中单独命题考杳 程、函数、四边形、圆以及相似形等知识 要求身1（2009年达州）图『株美丽的勾股力 止方形A、B、C、D的边长分别是3、A. 13 B. 262 （2009年滨州）如图 3,已知△AD = 8, 则边BC的长为（A. 21 B. 15 C. 63（2009年安顺）图甲是我国古代著空 个全等的直角三角形围成的在 RtA 四个直角三角形中边长为 6的直角边攻1, 面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看逝，湖水如何知深浅 ？”请用学过的数学知识解答这个问题.:的选择题和填空题相对较少，而主要是m综合在一起考查，灵活性强，涉及面广、能力 、乙E对，其中所有的四边形都是止方形， 所有的三角形都是直角三角形. 若5、2、3,则最大正方形 E的面积是C. 47 D. 94 【答案】CABC 中，AB =17, AC = 10, BC 边上的高） ………B/I\cD.以上答案都不对 【答案】A B D C1的“赵爽弦图”的示意图，它是由四 ABC 中，若直角边 AC = 6, BC=6,将 总>别向外延长一倍，得到图乙所示的“数 卜曲学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是【答案】764 （2009年湖南长沙）如图，等腰△ ABC中，若 AB 5cm, BC 6cm ,则 AD cm5 （2009恩施市）如图，长方体的长为 15,5距离为5, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点（ ）A. 5>/21 B. 25 C. 10AB AC, AD是底边上的高，1.［答案］4 / \B D C置为10,图为20,点B离点C的 / 7A爬到点B ,需要爬行的最短距离是 I；—B * 51cV5 5 D. 35【答案】B ： 206 （2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图 4所示，C 90° ,因某种活动要求铺设红色地毯，则在其中 AB 4米， BAC 30° , J-4L——15 M0AB段楼梯所铺地毯的长P^IBC度应为.【答案】（2+2 与）米.7（2009年四川省内江市）已知RtAABC的周长是4 443 ,A斜边上的中线长是 2,则Saabc =【答案】88 （2009年宜宾）已知：如图，以 RtAABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.^9若斜边AB= 3,则图中阴影部分的面积为 .【答案】9. 2DF9 （2009年崇左）如图，在等腰梯形 ABCD中，已知 AD//BC , AB = DC,AD =2,BC = 4,延长 BC 至U E,使 CE = AD.(1)证明：A BAD 0 A DCE;(2)如果AC ± BD,求等腰梯形 ABCD的高DF的值.答案10 （09白银市）如图13, 4ACB和△ ECD都是等腰直角三角形，/ ACB=/ECD = 90第十八章勾股定理18. 1勾股定理（一）、教学目标1 . 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2 .培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力3 .介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习 、重点、难点4 .重点：勾股定理的内容及证明5 .难点：勾股定理的证明三、例题的意图分析例1 （补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的 动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手激发学生的民族自豪感，和爱国 情怀例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变进一步让学生确信勾 股定理的正确性四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类 的语言、音乐、各种图形等我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文 明人”，那么他们一定会识别这种语言的这个事实可以说明勾股定理的重大意义尤其是在两千年前， 是非常了不起的成就让学生画一个直角边为 3cm和4cm的直角△ ABC ,用刻度尺量出 AB的长以上这个事实是我国古代 3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的 长是3,长的直角边（股）的长是 4,那么斜边（弦）的长是 5再画一个两直角边为 5和12的直角△ ABC,用刻度尺量 AB的长你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52, 52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2O对于任意的直角三角形也有这个性质吗？五、例习题分析例1 （补充）已知：在^ ABC中，/ C=90°，/ A、/ B、/ C的对边 为 a、b、c求证：a2+b2=c2分析：⑴让学生准备多个三角形模型， 最好是有颜色的吹塑纸， 让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明⑵拼成如图所示，其等量关系为： 4Sa+S小『S大正 4X — ab+ ( b— a) 2=c2,化简可证2⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明4）勾股定理的证明方法，达 300余种这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手激发学生的民族自豪感，和爱国情怀aba例2已知：在^ ABC中，/ C=90° A、/ B、/ C 的对边为 a、b、Co 求证：a2+b2=c2分析：左右两边的正方形边长相等，则两个 正方形的面积相等。
左边 S=4X 1ab+c2 2右边 S= (a+b) 2左边和右边面积相等，即4X — ab+ c2= (a+b) 22化简可证六、课堂练习1 .勾股定理的具体内容是： 2 .如图，直角△ ABC的主要性质是：/ C=90° ,(用几何语言表示)⑴两锐角之间的关系：;⑵若D为斜边中点，则斜边中线 ;⑶若/ B=30° ,贝U/ B的对边和斜边： ;⑷三边之间的关系： 3 . △ ABC的三边a、b、c,若满足b2= a2+c2,则=90° ;若满足b2>c2+a2,则/ B是 角； 若满足b2
P点移动多少秒时，PA与腰垂直课后反思:⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论八、参考答案课堂练习1 .略；2 .⑴/ A+/B=90° ;⑵ CD=1AB;⑶ AC=1AB;⑷ AC2+BC2=AB 23 . 3 B,钝角,锐角;4 .提示：因为S 梯形 ABCD = S^ABE+ S^BCE+ $△ EDA ,又因为 S 梯形 ACDG = g (a+b) 2,1SABCE= Sa EDA = — at),21 2Saabe = — c2,2c 1(a+b) 2=2x 一2ab+ -c2o2课后练习1. .⑴ c= . b2⑵ a= , b2 c2⑶ b= c2 a22 2a b2.c b则 b,j,22 a c=—1 一，一；当 a=19 时，b=180, c=1813. 5秒或10秒4 .提示：过A作AEXBC于E18. 1 勾股定理（二）第13页-、教学目标1 .会用勾股定理进行简单的计算2 .树立数形结合的思想、分类讨论思想二、重点、难点1 .重点：勾股定理的简单计算2 .难点：勾股定理的灵活运用三、例题的意图分析例1 （补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的 关系。
让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边并学会利用不同的条件转化为已知 两边求第三边例2 （补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想例3 （补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造 直角三角形的辅助线做法让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力 四、课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形学习勾股定理重在应用 五、例习题分析例 1 （补充）在 RtAABC , / C=90°⑴已知a=b=5,求c⑵已知a=1,c=2,求bo⑶已知c=17,b=8,求a⑷已知 a： b=1: 2,c=5,求 a⑸已知 b=15, /A=30 ° ,求 a, c分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系⑴已知两直角边，求斜 边直接用勾股定理⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式⑷⑸已知一边和两 边比，求未知边通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边后两题让学 生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的 转化思想。
则此题可解例2 （补充）已知直角三角形的两边长分别为 5和12,求第三边分析：已知两边中较大边 12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况 分别进形计算让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想例3 （补充）已知：如图，等边△ ABC的边长是6cm⑴求等边^ ABC的高⑵求Sa ABC o分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法欲求高 CD,可将其置身于 RtAADC或RtABDC中，但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求 AD=CD= - AB=3cm ,2六、课堂练习1 .填空题⑴在 RtAABC , /C=90° , a=8, b=15,贝U c=⑵在 RtAABC , / B=90° , a=3, b=4,贝U c=⑶在 RtAABC , /C=90° , c=10, a： b=3: 4,贝U a=, b=⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ⑸已知直角三角形的两边长分别为 3cm和5cm,,则第三边长为⑹已知等边三角形的边长为 2cm,则它的高为 ,面积为 2 .已知：如图，在^ ABC 中，/ C=60° , AB= 473 , AC=4 , AD 是 BC边上的高，求BC的长。
3 .已知等腰三角形腰长是 10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积七、课后练习1 .填空题在 RtAABC , / C=90° ,⑴如果 a=7, c=25,贝U b=⑵如果/ A=30 ° , a=4,贝U b=⑶如果/ A=45 ° , a=3,贝U c=⑷如果 c=10, a-b=2,贝U b=⑸如果a、b、c是连续整数，则 a+b+c=⑹如果 b=8, a： c=3： 5,贝U c=2 .已知：如图，四边形 ABCD中，AD//BC, AD ± DC , AB LAC, / B=60° , CD=1cm ,求 BC 的长课后反思:八、参考答案课堂练习1. 17; 77; 6, 8; 6, 8, 10; 4 或 V34; 芯,33 ;2. 8; 3. 48课后练习2.1. 24; 473 ; 3 J2 ; 6; 12; 10; 、教学目标1 .会用勾股定理解决简单的实际问题2 .树立数形结合的思想重点、难点1 .重点：勾股定理的应用2 .难点：实际问题向数学问题的转化三、例题的意图分析例1 （教材P74页探究1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化;知识、思想、方法解决实际问题。
例2 （教材P75页探究2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三 边的关系：保证一边不变，其它两边的变化 四、课堂引入勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用勾股定理的发现和使用解决 了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一 试五、例习题分析学会如何利用数学例1 （教材P74页探究1） 分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是 直角⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题⑸注意给学生例2 （教材P75页探究2） 分析：⑴在△ AOB中，已知⑵在ACOD中，已知 则BD=OD —OB,通过计算可知AB=3 , AO=2.5 ,利用勾股定理计算CD=3, CO=2,利用勾股定理计算 ODBDWAC⑶进一步让学生探究 AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD六、课堂练习1 .小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了 500米,离地面的高度是米看到了一棵红叶树，这棵红叶树的4^3米，则这两株树之间的垂直距离是2.如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是3.如图，一根12米高的电线杆两侧各用4题图15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。
小结深化数学建模思想，激发数学兴趣18. 1勾股定理（三）第15页4.如图，原计划从 A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术 攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为 2公里，隧道造价为 500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用 是多少？七、课后练习1 .如图，欲测量松花江的宽度， 沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点 A,使AC垂直江岸，测得BC=50米，ZB=60° ,则江面的宽度为 2 .有一个边长为 1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞 口，则圆形盖半径至少为 米3 . 一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在 P、Q两点，PQ=16厘米，且 RPL PQ 则RQ=厘米4 .如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形， 支柱高24米，/ B= / C=30° , E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索 AB和 AE的长度精确到1米）课后反思:八、参考答案：课堂练习：1. 250拒； 2. 6, 243 3. 18 米； 4. 11600;课后练习… 21. 50 V 3 米； 2.—;3. 20; 4. 83 米，48 米，32 米;18. 1勾股定理（四） 一、教学目标1 .会用勾股定理解决较综合的问题。
2 .树立数形结合的思想二、重点、难点1 .重点：勾股定理的综合应用2 .难点：勾股定理的综合应用三、例题的意图分析例1 （补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用目前“双垂图”需要掌握的知识点有： 3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2,两对相等锐角，四对互余角，及 30特殊角的特殊性质等例2 （补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题使学生清楚作辅助线不能破坏已知 角例3 （补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角 形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差在转化的过程中注意条件的合理运用让学生把前面学 过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力例4 （教材P76页探究3）让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上 的点与实数 对应的理论四、课堂引入复习勾股定理的内容本节课探究勾股定理的综合应用五、例习题分析例 1 （补充）1.已知：在 Rt^ABC 中，/C=90° , CD^BC 于 D, Z A=60 ° , CD= J3 ,求线段AB的长。
分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用目前“双垂图”需要掌握的知识点有： 3个直角三角形,CAB三个勾股定理及推导式 BC2-BD2=AC2-AD2,两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等要求学生能够自己画图，并正确标图引导学生分析：欲求 AB ,可由AB=BD+CD ,分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出 BD=3和ad=1或欲求 ab,可由ab Jac2 bc2 ,分别在两个三角形中利用勾 股定理和特殊角，求出 AC=2和BC=6例 2 （补充）已知：如图，△ ABC 中，AC=4 , / B=45° , / A=60 ° 根据题设可知什么？分析：由于本题中的△ ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得/ACB=75在学生充分思考和讨论后，发现添置 AB边上的高这条辅助线, 就可以求得 AD , CD, BD , AB, BC及S”bc让学生充分讨论还可以作其 它辅助线吗？为什么？小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题并指出如何作辅助线？ 解略例 3（补充）已知：如图，/B=/D=90° , /A=60° , AB=4 , CD=2。
求：四边形ABCD的面积 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC,或延长 AB、DC交于F,或延长 AD、BC交于E,根据本题给定的角应选后两种， 进一步根据本题给定的边选第三种较为简单 教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会解：延长AD、BC交于E•. /A=/60° , Z B=90 ° , . E=30° AE=2AB=8 , CE=2CD=4 ,BE2=AE 2-AB 2=82-42=48, BE= <48 =4用d DE2= CE2-CD2=42-22=12，.= DE= 7T2 = 2V3 S 四边形 ABCD =SaaBE-SacDE =小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四 边形面积转化为三角形面积之差例4 （教材P76页探究3）分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论变式训练：在数轴上画出表示 忑3 1,2 J2的点六、课堂练习1 . △ ABC 中，AB=AC=25cm ,高 AD=20cm,则 BC=, S*bc=2 . △ ABC 中，若/ A=2/B=3/C, AC= 273 cm,则/ A=度，/ B=度，/C=度, BC=, S/\ ABC =o3 . AABC 中，/ C=90° , AB=4 , BC= 2 上,CD± AB 于 D,则 AC=CD=, BD=, AD=Sabc =。
4 .已知：如图，△ ABC 中，AB=26 , BC=25 , AC=17 , 求 Saabc七、课后练习1 .在 RtAABC 中，/ C=902.在 RtAABC 中，/ C=90,CD，BC 于 D, / A=60 ° ,,Saabc =30, c=13,且 avb,CD= V3 , AB=贝 U a=, b=第19页5 .已知：如图，在^ ABC 中，/ B=30° , / C=45° , AC= 272 , 求（1） AB 的长；（2） Sa ABC6 .在数轴上画出表示一痴,我 J5的点课后反思:八、参考答案：课堂练习：1. 30cm, 300cm2；2. 90, 60, 30, 4, 2V3；3. 2,8,3, 1, 243;4,作 BDXAC 于 D,设 AD=x ,贝U CD=17-x, 252-x2=262- (17-x) 2, x=7 , BD=24 ,1Saabc= — AC - BD=254 ;2课后练习：1. 4;2. 5, 12;3,提示：作 AD ±BC 于 D, AD=CD=2 , AB=4 , BD= 273 , BC=2+ 2V3 ,字abc= =2+ 2y3 ；4. 略。
18. 2勾股定理的逆定理（一） 、教学目标1 .体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理2 .探究勾股定理的逆定理的证明方法3 .理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系重点、难点1 .重点：掌握勾股定理的逆定理及证明2 .难点：勾股定理的逆定理的证明三、例题的意图分析例1 （补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系例2 （P82探究）通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求 知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维例3 （补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大②分别用代数方法计算出 a2+b2和c2的值③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形四、课堂引入 创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形?⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进 行猜想五、例习题分析例1 （补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？⑴同旁内角互补，两条直线平行。
⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注 意语言的运用⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假例2（P82探究）证明：如果三角形的三边长 a,b,c满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写 已知求证⑵如何判断一个三角形是直角三角形， 现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形， 从而将问题转化为如何判断一个角是直角⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等， 使问题得以解决⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边 A1B〔=c,则通过三边对应相等的两个三角形全等可证⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理 论证明方法充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受例 3 （补充）已知：在^ ABC 中，/ A、/ B、/ C 的对边分别是 a、b、c, a=n2- 1, b=2n, c=n2+1(n>1)求证：/ C=90 。
分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大②分别用代数方法计算出 a2+b2和c2的值③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形⑵要证/ C=90只要证△ ABC是直角三角形，并且c边最大根据勾股定理的逆定理只要证明 a2+b2=c2即可⑶由于 a2+b2= (n2—1) 2+ (2n) 2=n4 + 2n2+1, c2= (n2+1) 2= n4+2n2+1,从而 a2+b2=c2,故命题获证六、课堂练习1 .判断题⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是 30那么它所对的边是另一边的一半的逆命题是真命 题⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形4)A ABC的三边之比是1: 1: 四,则△ ABC是直角三角形2 . △ ABC中/A、/B、/ C的对边分别是 a、b、c,下列命题中的假命题是( )A.如果/ C —/B=/A,则4ABC是直角三角形B.如果c2= b2-a2,则△ ABC是直角三角形，且/ C=90°。
C.如果(c + a) ( c- a) =b2,则△ ABC是直角三角形D.如果/ A : /B: /C=5: 2: 3,则4ABC是直角三角形3 .下列四条线段不能组成直角三角形的是( )A. a=8, b=15, c=17B. a=9, b=12, c=15C. a= v'5 , b= V3 , c= v2D. a： b： c=2： 3: 44 .已知：在^ ABC中，/ A、/B、/C的对边分别是a、b、c,分别为下列长度，判断该三角形是否是 直角三角形？并指出那一个角是直角？(1) a= 33 , b= 2 < 2 , c=痣； ⑵ a=5, b=7 , c=9;⑶a=2, b= V3 , c= 71 ; ⑷a=5, b=2d6 , c=1七、课后练习，1 .叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确⑴如果a3>0,那么a2>0;⑵如果三角形有一个角小于 90那么这个三角形是锐角三角形；⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等2 .填空题⑴任何一个命题都有,但任何一个定理未必都有 ⑵“两直线平行，内错角相等的逆定理是 ⑶在△ ABC中，若a2=b2-c2,则4ABC是 三角形，是直角；第27页若 a2vb2—c2,则/ B 是。
⑷若在△ ABC 中，a=m2— n2, b=2mn , c= m2+n2,则△ ABC 是 三角形3.若三角形的三边是 ⑴1、/3、⑸(m + n) 2— 1, 2 (m + n),1 1 1 c c c2; ⑵一，一,一； ⑶32, 42, 52 (4)9, 40,3 4 541；（m+n） 2+1;则构成的是直角三角形的有（A. 2个 B. 3个 C. 4个D. 5个4.已知：在^ ABC中，/ A、/ B、/C的对边分别是a、b、c,分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角?⑴a=9, b=41, c=40;⑵a=15, b=16, c=6;⑷a=5k, b=12k, c=13k (k>0)课后反思:八、参考答案：课堂练习：1.对，错，错，对； 2. D;3. D; 4.⑴是，/ B;⑵不是；⑶是，/ C;⑷是，/ Ao课后练习：1 .⑴如果a2>0,那么a3>0;假命题⑵如果三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；真命题⑶如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；假命题⑷两条相等的线段一定关于某条直线对称；假命题2 .⑴逆命题，逆定理；⑵内错角相等，两直线平行；⑶直角，/ B,钝角；⑷直角。
3 . B 4.⑴是，/ B;⑵不是，；⑶是，/ C;⑷是，/ Co18. 2勾股定理的逆定理（二） 、教学目标1 .灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题2 .进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识重点、难点1 .重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题2 .难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题 三、例题的意图分析例1 （P83例2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识QPR=90° ;例2 （补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆 定理解决实际问题的意识四、课堂引入创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和 数学方法五、例习题分析例 1 （P83 例 2）分析：⑴了解方位角，及方位名词；⑵依题意画出图形；QR=30 ;⑶依题意可得 PR=12X 1.5=18, PQ=16X1.5=24,⑷因为242+182=302, PQ2+PR2=QR2,根据勾股定理 的逆定理，知/⑸ / PRS=/QPR-/QPS=45°小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识例2 （补充）一根30米长的细绳折成 3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长 7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。
分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长 5、12、13;⑶根据勾股定理的逆定理，由 52+122=132,知三角形为直角三角形六、课堂练习1 .小强在操场上向东走 80m后，又走了 60m,再走100m回到原地小强在 操场上向东走了 80m后，又走60m的方向是2 .如图，在操场上竖直立着一根长为 2米的测影竿，早晨测得它的影长为 4B D A米，中午测得它的影长为 1米，则A。
