单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第七节 傅立叶级数,三角级数,由三角函数组成的函数项级数,一、三角级数 三角函数系的正交性,三角级数,形如：,（1）,其中,为常数.,三角函数系:,（2）,三角函数系的正交性:,（,1,）中任何不同的两个函数之积在,上的积分等于零;,（2）中任何两个相同函数之积在,上的积分不等于零.,1,即,为奇函数,）,2,二、函数展开成傅立叶级数,设,是以,为周期的周期函数，,且能展开成三角级数：,（1）,问题：,怎样确定系数,1.,先求,对（1）式从,到,逐项积分:,3,=0,类似,(2)称为函数,的,傅立叶系数,.,综上可得,(2),2.,再求,用,乘(1)式两边,到,逐项积分:,再从,4,傅立叶系数所构成的三角级数:,(3),(3)称为函数,的,傅立叶级数,.,在什么条件下,其傅立叶级数(3)收敛于,即,满足什么条件时,可以展成傅立叶级数?,问题:,5,收敛定理,（狄利克雷充分条件）,设,是周期为,的周期函数,若它,满足条件,:,1).,在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;,2).,在一个周期内至多有有限个极值点.,则,的傅立叶级数收敛,并且,(1).,当,是,的连续点时,级数收敛于,(2).,当,是,的间断点时,级数收敛于,只要函数,在,上至多有有限个第一类间断点,并且不作无限次振动，,则,的傅立叶级数在连续点处,在间断点处收敛于该点左右极限的算术平均值.,说明,收敛于,6,例1,.,设,是周期为,的周期函数,它在,上表达式为:,将,展开成傅立叶级数.,解,显然该函数在,处不连续.,x,y,o,-1,1,该函数满足收敛定理的条件,的图形为:,处收敛于,的傅立叶级数在点,所以,在其它点处收敛于,f,(,x,),的傅立叶级数的和函数图形为:,x,y,o,-1,1,7,所以，函数,的傅立叶级数展开式为：,8,例2,.,设,是周期为,的周期函数,它在,上表达式为:,将,展开成傅立叶级数.,解,的图形为:,显然该函数在,处不连续.,处收敛于,该函数满足收敛定理的条件,所以,的傅立叶级数在,在其它点处收敛于,9,f,(,x,),的傅立叶级数的和函数图形为:,10,所以，函数,的傅立叶级数展开式为：,11,说明：,若,只是定义在区间,上，,则,也可以展成傅立叶级数.,且满足收敛定理的条件，,方法:,1).,将,进行,周期延拓。
函数,2).,将,展开成傅立叶级数,3).,当,限制在,内,此时,这样便得到,的傅立叶级数展式.,该级数在,处收敛于,在,或,外补充函数,的定义，,使,其拓广成周期为,12,例3.将函数,展开成傅立叶级数.,解,在,上满足收敛定理的条件,将,进行周期延拓,延拓后的函数,为周期为,的周期函数,且在,内,的傅立叶级数在,内收敛于,而在,处,收敛于,的傅立叶级数在,上收敛于,即,13,书,P303,所以，函数,的傅立叶级数展开式为：,14,小结,1.三角函数系及其正交性,2.周期为 2,的函数展开成傅立叶级数,3.收敛定理,15,。
