单击以编辑,母版标题样式,,单击以编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,第二讲,研究函数与极限,,,的,,基本方法,,1,,函数,研究的对象,极限,研究的工具,连续,研究的桥梁,微积分学的基础,参考,:,,第一章,(,第一节,,,第二节,),(,英,1642-1727),(,德,1646-1716),(,法,1789-1857),,2,,,1-1,函数和连续的概念、性质和应用,一,.,方法指导,1.,对函数的理解和讨论,(1),定义,定义域,对应规律,值域,基本要素,定义域,使表达式及实际问题有意义的自变量取值集合,.,对应规律,表示方式,:,图象法,;,表格法,.,解析法,;,值域,,3,,(2),基本特性,有界性,,,单调性,,,奇偶性,,,周期性,.,(3),基本结构,基本初等函数,复合运算,反演运算,初等函数,非初等函数,分段函数,级数表示的函数,…………,四则运算,有限次运算且用一个式子表示,,4,,(4),常用的等式与不等式,3,、已知等差,数列,首,a,1,和公差,d,，,则,的通项可表示为：,前,n,项的和为,S,,n,,,即,特别,,5,,4,、 等比数列的前,n,,项和的公式,设等比数列,前,n,项的和为,S,,n,,,即,根据等比数列的通项公式，,上式可以写成：,上式两边同时乘以,q,,有：,上（,1,）式两边分别减去（,2,）式的两边得：,当,时,特别,,6,,2.,函数的连续与间断,(1),连续性的等价形式,在,连续,当,时,,7,,(2),闭区间上连续函数的性质,(P4 , 5),有界定理,;,最值定理,;,介值定理,;,零点定理,(3),函数的间断点,第一类间断点,可去间断点,:,跳跃间断点,:,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,二,.,实例分析,,8,,例,1.,,设,其中,求,解,:,,令,则,代入原方程得,即,①,再令,则,代入上式得,即,②,将,①,, ②,两式与,原方程,联立,,,解得,,9,,例,2.,,设,其中,满足,判断,的奇偶性,.,解,:,,令,则,故,为奇函数,.,又令,y,= 0 ,,得,故,而,故,为奇函数,.,因此,为偶函数,.,,10,,例,3.,求常数,k,及函数,g,(,x,),,使函数,为连续的奇函数。
解,:,连续的奇函数有,f,(0) = 0,,即,而,所以,,11,,例,4.,设,求,解,:,当,时,;,当,时,,,,12,,例,5.,,设,证明,但,证,:,,在,(0,1),中取点列,在,(0,1],上无界,,,则有,显然,,,在,(0,1],上无界,.,但,,,若取点列,则,而,故,(P8.,例,4),,13,,的间断点,,,并,,x,= –1,,为第一类,可去间断点,,x,= 1,,为第二类,无穷间断点,,x,= 0,,为第一类,跳跃间断点,例,6.,求函数,判别间断点的类型,.,解,:,所以,,f,(,x,),有间断点,,14,,例,7.,设函数,,(2008,考研,),解,:,只有两个间断点,则,有（ ）；,1,个可去间断点，,1,个跳跃间断点；,1,个可去间断点，,1,个无穷间断点；,2,个跳跃间断点；,2,个无穷间断点为可去间断点；,,为跳跃间断点15,,例,8.,,讨论下述函数的连续与间断问题,(P8.例5(1)),解,:,显然,,,在区域,上连续,.,因,故,x,=1,,为第二类无穷间断点,.,,16,,1-2,求极限的方法,,(P13,第二节,),一,.,方法指导,1.,求极限的基本方法,(P16-P19),(1),已知极限值利用极限定义验证,(,用“,,,-,N,,”,或 “,,,-,,”,语言,),(2),未知极限值,先判别极限存在后再求极限,根据法则演算,,,判定与计算同时进行,.,,17,,求极限的基本方法,,,,1,）用验证极限的定义。
8),用极限运算法则与函数的连续性求极限,2,）用消去不定型法求极限3,）用有界函数与无穷小乘积仍为无穷小的结论求极限5,）用等价无穷小的替代定理求极限6,）用变量代换求极限4,）用两个重要极限公式求极限7,）用左、右极限存在且相等的方法求极限9,）用函数极限和数列极限的关系求极限10,）利用极限存在准则求极限18,,12,）用导数的定义或定积分定义求极限13,）利用微分中值定理求极限14,）利用泰勒公式求极限16,）用无穷级数的有关知识求极限11,）用洛必达法则求极限15,）用积分中值定理求极限17,） 其他19,,2.,求未定式的极限的方法,通分,转化,取倒数,转化,取对数,转化,3.,求极限的基本技巧,(1),定式部分应尽早求出,;,各种方法注意综合使用,.,(2),注意利用已知极限的结果,.,例如,,,当 时,时,速度一个比一个快,.,,20,,(3),善于利用等价无穷小替换,利用麦克劳林公式找等价无穷小,当,时,替换定理,（整个分子、整个分母或分子分母,乘积,的因子）,,21,,～,,～,,～,～,～,～,～,当,x,→ 0,时, 有下列,常用等价无穷小,:,( P16),一般形式，如：,～,～,,22,,设对同一变化过程,,,,,,,,为无穷小,,,说明,:,无穷小的性质,,,(1),和差取大规则,:,由,等价,可得简化某些极限运算的下述规则,.,若,,,= o(,,) ,,例如,,,证明,练习,、求,,,23,,例如,,,(2),和差代替规则,:,,24,,(3),因式代替规则,:,界,,,则,例如,,,,例,4.,求,解,:,原,式,,25,,如,,,利用导数定义,,,微分中值定理,,,泰勒公式等,求极限,.,3.,判断极限不存在的主要方法,(P22, 6),(1),对分段函数,,,在界点处讨论左右极限,;,(2),利用数列极限与函数极限的关系,;,(3),利用反证法,,,设极限存在推出矛盾,.,(4),注意用求极限的特殊方法,,26,,例,1.,,求,解,:,原式,二,.,实例分析,,27,,例,2.,,求,型,解,:,令,有,例,3.,求,型,解,:,不能直接用洛必达法则,!,令,则,原式,说明,:,,有许多极限问题可通过变量代换使其简化,.,再如,, P27,例,7,,28,,例,4.,,求,（洛必达法则或泰勒公式）,2008,考研,,29,,例,5.,,设,解,:,利用前一极限式可令,再利用后一极限式,,,得,可见,是多项式,,,且,求,故,,30,,例,6.,,求,解,:,原式,= 1 .,,31,,例,7.,,求函数,解,:,当,时的,等价无穷小,.,,32,,例,8,时,与,小,，求,C,.,,解,,是等价无穷,则,,33,,练习,已知,，,(1),求,的值，,(2),当,时，,是,求常数,解,由题意,(1),；,的同阶无穷小,,,的值。
2012,考研,,34,,(2),因为,，则,可知当,时，,因此,与,x,是同阶无穷小，,,35,,例,9.,,求,型,证,:,原式,对指数用洛必达法则,,36,,例,10,、,求,解,令,则,,37,,例,11,求极限,2010,考研,,38,,解,2011,考研,,39,,当,2011,考研,设,时，,同样可得,时，,当,原式,,40,,3,、,所以,因为,2012,考研,,41,,解,:,例,12,1,、 求,一般，若,则,,42,,2,、计算,2012,考研,,43,,例,13.,,求,( P43 题21(3) ),解,:,原式,=,利用,～,～,～,,44,,例,14.,,解,:,,因为,当,或,所以,,45,,例,15.,,设,在,x,= 0,的某邻域内二阶可导,,,且,求,及,的,值,.,解,:,代入,,,得,,46,,例,16.,,求,型,直接用洛必达法则,繁,!,解决办法,巧用泰勒公式,解,:,见,P70,见,P70,∴ 原式,,47,,说明,利用泰勒公式求极限,(P31,例,12),利用导数定义求极限,(P29,例,9(1) ; P30,例,10),利用微分中值定理求极限,(P31,例,11),求极限的特殊方法,:,利用定积分定义求极限,(P29,例,9(2)),,48,,例,17,,49,,例,18.,解,:,,原式,,50,,例,19.,,解法,1:,,原式,故,于是,而,试确定常数,a , b,,使,(P34 例14),,51,,例,19.,,解法,2:,,因,试确定常数,a , b,,使,(P34 例14),利用,时,得,,52,,例,20.,解,:,,设,由夹逼准则得,求,,53,,例,21.,设,证明,:,严格单调增加，且有界，则,证明,存在。
时，有,连续存在，,严格单调增加，且有界，,所以,存在，则,存在或者,存在54,,例,22,,设数列,满足,（,1,）证明,存在，并求之,;,（,2,）计算,解,（,1,）因为,则当,时，,单调减少又,有下界，根据准则，,存在，,（,2,）,递推公式两边取极限得,2009,考研,,55,,例,23.,设,证明,:,设,得,则,单调减少，且有下界，,存在即,,56,,例,24,分解,,57,,例,25,,58,,例,26,,59,,例,27,,60,,例,28.,,小球从,1,,米,高处自由落下,,,每次跳起的高度,减少一半,,,问小球是否会停止运动,?,若会停止,,,何时停止,?,解,:,,已知自由落体运动规律,设小球第,k,,次落下的时间为,则小球停止运动的时间为,(,秒,),,61,,阅读与练习,P13,第二节,(,除,P27,例,8(3) ; P29,例,9(2) ;,,P39,例,20 ; P40,例,21 ),,62,,。
