1.2 曲面及其方程曲面及其方程一、空间曲面方程概念一、空间曲面方程概念v曲面的实例：曲面的实例：水桶的表面水桶的表面台灯的罩子面台灯的罩子面反光镜的镜面，反光镜的镜面，管道的外表面管道的外表面锥面等锥面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述关关系系：（1 1） 曲曲面面S上上任任一一点点的的坐坐标标都都满满足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的图图形形常见的曲面：平面、球面、柱面、旋转曲面、常见的曲面：平面、球面、柱面、旋转曲面、二次曲面二次曲面（2 2）根据方程）根据方程F F（x x，y y，z z）=0=0的特点，讨的特点，讨论该方程所表示曲面的形状论该方程所表示曲面的形状下面介绍一些常见的曲面,主要讨论一下两个问题：（1 1）根据曲面上动点的特性建立曲）根据曲面上动点的特性建立曲 面的方程面的方程F F（x x，y y，z z）=0=0常见的曲面：平面、球面、柱面、旋转曲面、常见的曲面：平面、球面、柱面、旋转曲面、 二次曲面二次曲面方程方程 F F( (x x, ,y y, ,z z)=0 )=0 决定了空间直角坐标系上的一张曲面决定了空间直角坐标系上的一张曲面. .二、平面和球面二、平面和球面设有设有三元一次方程三元一次方程 此方程称为平面的一般平面的一般方程方程.0DzCyBxA)0(222CBA（1）平面特殊情形特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; 当 A = 0 时,平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D = 0 表示0AxByCzD222(0)ABC平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xOy 面 的平面;平行于 yOz 面 的平面；平行于 zOx 面 的平面.设设),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一点点，根据题意有根据题意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程. 07262 zyx解解例例2. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.解解: 因平面通过 x 轴 ,0 DA故设所求平面方程为0zCyB代入已知点) 1,3,4(得BC3化简,得所求平面方程03 zy想一想：通过通过x轴：轴：A=D=0通过通过y轴轴:B=D=0通过通过z轴：轴： C=D=O例例 4 4 设设平平面面与与zyx,三三轴轴分分别别交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.设平面为设平面为, 0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解,aDA ,bDB ,cDC 将将代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距（2）球面）球面解解设设),(zyxM是是球球面面上上任任一一点点，RMM |0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx 定义定义三、柱面与旋转曲面三、柱面与旋转曲面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线移动的直线L所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线C 叫叫柱面的柱面的准线准线，动，动直线直线L 叫柱面的叫柱面的母线母线.1、柱面、柱面播放定义定义1 1、柱面、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程: :平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫柱面的叫柱面的母线母线. .CL定义定义1、柱面、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义1、柱面、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义1、柱面、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义1、柱面、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义1、柱面、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义1、柱面、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义1、柱面、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义1、柱面、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义1、柱面、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义1、柱面、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义1、柱面、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CLxyz柱面的母线平行于柱面的母线平行于z z轴轴, ,准线准线C C是是xOyxOy平平面上的一条曲线面上的一条曲线, ,其方程为其方程为F(x,y)=0.F(x,y)=0.例如方程例如方程表示的曲面表示的曲面 : :的坐标也满足方程的坐标也满足方程222xyR在在xoyxoy面上，面上，表示表示准线圆准线圆C C, , 222xyR222Ryx沿曲线沿曲线C C平行于平行于z z 轴的一切直线所形成的曲面称为轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间故在空间222Ryx过此点作过此点作柱面柱面. .对任意对任意 z z , ,平行平行z z轴轴的直线的直线l ,l ,表示表示母线平行于母线平行于z z轴轴, ,准线准线C C是是xOyxOy平面上平面上的一条曲线的的一条曲线的圆柱面圆柱面oC在圆在圆C C上任取一点上任取一点 , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM点其上所有点的坐标都满足此方程其上所有点的坐标都满足此方程, ,xzy2l一般地一般地, ,在三维空间在三维空间柱面柱面, ,柱面柱面, ,平行于平行于 x x 轴轴; ;平行于平行于 y y 轴轴; ;平行于平行于 z z 轴轴; ;准线准线: :xozxoz 面上的曲线面上的曲线 l l3.3.母线母线: :柱面柱面, ,准线准线: :xoyxoy 面上的曲线面上的曲线 l l1.1.母线母线: :准线准线: :yoz yoz 面上的曲线面上的曲线 l l2. 2. 母线母线: :表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面xyzo 椭圆柱面椭圆柱面.12222byax2 2、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平以一条平面曲线面曲线C C 绕其平面绕其平面上的一条直线上的一条直线L L 旋旋转所成的曲面称为转所成的曲面称为旋转曲面旋转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴播放播放2 2、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴2 2、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴2 2、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴2 2、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴2 2、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴2 2、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴2 2、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴2 2、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴2 2、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴2 2、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴2 2、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴2 2、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM设设1)1(zz |122yyxd 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf , 0,22 zyxf得方程得方程同理：同理：yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线0),( zyf绕绕y轴旋转一周的轴旋转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程为为 . 0,22 zxyf例例1 1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程（1）双双曲曲线线12222 czax分分别别绕绕x轴轴和和z轴轴；绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czyax122222 czayx旋转双曲面旋转双曲面绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面（3）抛抛物物线线 022xpzy绕绕z轴轴；pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面xozy解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz oxzy （2）圆锥面）圆锥面222zyx （1）球面）球面（3）旋转双曲面）旋转双曲面1222222 czayax1222 zyx二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面四、二次曲面ozyx（一）椭球面（一）椭球面1222222 czbyax 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆1zz 同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面12222 czax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z122222 czayx方程可写为方程可写为,)2(cba 1222222 azayax球面球面方程可写为方程可写为.2222azyx （二）抛物面（二）抛物面zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq椭圆抛物面椭圆抛物面zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设0, 0 qp图形如下：图形如下：xyzo（三）双曲面（三）双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆.)0 , 0 , 0(O 012222zbyax双叶双曲面双叶双曲面1222222 czbyaxxyo小结v常见的曲面：v 平面（方程的特点是什么）v 球面（方程的特点是什么）v 柱面（方程的特点是什么）v 旋转曲面（方程的特点是什么）v 二次曲面（如何大概了解图形全貌）。
