第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数11−i的共轭复数对应的点位于( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 已知平面向量a=(1,2)，b=(−2,y)，若a//b，则a+b=( )A. (−1,−2) B. (−1,6) C. (−1,3) D. (−1,1)3. 若函数f(x)=x2+1,x≤0log3(x+3),x>0，则f(f(−2))=( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知集合A={x|y= x+3},B={x|x−3x−1<0}，则A∪B=( )A. (−3,+∞) B. [−3,+∞) C. (−3,3) D. [−3,3)5. 已知角α的终边经过点(−1, 3)，则tan(α+π2)+sin(2α−3π)=( )A. 32 B. −34 C. − 36 D. 5 366. 如图所示，△ABC的直观图是边长为2的等边△A'B'C'，则在原图中，BC边上的高为( )A. 2 6 B. 6 C. 2 3 D. 37. 若sinα=2sinβ,sin(α+β)⋅tan(α−β)=1，则tanαtanβ=( )A. 2 B. 32 C. 1 D. 128. 在平行四边形ABCD中，BE=12EC，DF=2FC，设AE=a，AF=b，则AC=( )A. 67a+37b B. 37a+67b C. 34a+13b D. 13a+34b二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9. 已知x，y∈R，i为虚数单位，且(x+1)i−y=−1+2i，复数z=(1−i)x+y，则以下结论正确的是( )A. z的虚部为−2i B. z的模为2C. z的共轭复数为2i D. z对应的点在第四象限10. 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，下列说法中正确的是( )A. “△ABC为锐角三角形”是“sinA>cosB”的充分不必要条件B. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形C. 命题“若A>B，则sinA>sinB”是真命题D. 若a=8，c=10，B=π3，则符合条件的△ABC有两个11. 下列说法正确的是( )A. 若a⋅b=a⋅c，且a≠0，则b≠cB. 若z1，z2为复数，则|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|C. 设a，b是非零向量，若|a+b|=|a−b|，则a⋅b=0D. 设z1，z2为复数，若|z1+z2|=|z1−z2|，则z1z2=012. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量a，b满足|a|=|b|=2，|a+b|=2 3，则( )A. a⋅b=−2 B. a与b的夹角为π3C. |a−b|>|a+b| D. a−b在b上的投影向量为−12b第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知命题p：∃x0∈R,x02+2x0+a≤0，命题q：∀x>0,x+1x>a，若p假q真，则实数a的取值范围为______ ．14. 1−tan 75∘1+tan 75∘= ．15. 若圆x2+y2−2ax−2by=0(a>0,b>0)被直线x+y=1平分，则1a+2b的最小值为______ ．16. 如图，在△ABC中，已知BD=12DC，P为AD上一点，且满足CP=mCA+49CB，若△ABC的面积为 3，∠ACB=π3，则|CP|的最小值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题12分)设向量a、b满足|a|=|b|=1，且|3a−2b|= 7．(1)求a与b夹角的大小；(2)求a+b与b夹角的大小；(3)求|3a+b||3a−b|的值．18. (本小题12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设bsinC= 3sinC+3cosC，A=π3．(Ⅰ)求c；(Ⅱ)若BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于P，AM=3，以P为圆心，r(00，则f(−2)=4+1=5，则f(f(−2))=log28=3．故选：C．4.【答案】B 【解析】A={x|x≥−3}，B={x|1π2，即A>π2−B，又A∈(0,π2)，π2−B∈(0,π2)，则sinA>sin(π2−B)=cosB；反之，若B为钝角，满足sinA>cosB，不能推出△ABC为锐角三角形，故A正确；由sin2A=sin2B，得2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；若A>B，则a>b，由正弦定理得asinA=bsinB，即sinA>sinB成立，故C正确;根据余弦定理得b2=a2+c.2−2accosB，即b2=82+102−2×8×10×12=84，所以b=2 21，符合条件的△ABC只有一个，故D错误．故选AC． 11.【答案】BC 【解析】若a⋅b=a⋅c，且a≠0，则a⋅(b−c)=0，即a⊥(b−c)或b=c，故A错误；设z1=a+bi，z2=c+di，(a,b,c,d∈R)，|z1|= a2+b2，|z2|= c2+d2，则|z1z2|=|ac−bd+(ad+bc)i|= a2c2+b2d2+a2d2+b2c2= (a2+b2)(c2+d2)，|z1z2|= (a2+b2)(c2+d2)，故B正确；因为a、b为非零向量，|a+b|=|a−b|，两边同时平方可得，(a+b)2=(a−b)2，即a2+b2+2a⋅b=a2+b2−2a⋅b，所以a⋅b=0，故C项正确；当z1=i，z2=1时，满足|z1+z2|=|z1−z2|，但不满足z1⋅z2=0，故D项错误．故选：BC．12.【答案】BD 【解析】∵|a|=|b|=2，|a+b|=2 3，所以12=|a+b|2=a2+2a⋅b+b2=4+2a⋅b+4，解得a⋅b=2，A错误；设a，b的夹角为α，则cosα=a⋅b|a||b|=22×2=12，由于α∈[0,π]，∴a与b的夹角为π3，故B正确；|a−b|= (a−b)2= a2−2a⋅b+b2= 4−2a⋅b+4=2<|a+b|=2 3，故错误；a−b在b上的投影向量为b⋅(a−b)|b|⋅b|b|=a⋅b−b22⋅b|b|=−b|b|=−12b，故D正确．故选：BD．13.【答案】(1,2) 【解析】命题p：由题意可得Δ=4−4a≥0，解得a≤1；命题q：由题意只需a<(x+1x)min，又当x>0时，x+1x≥2，当且仅当x=1是取等号，所以a<2，因为p假q真，则a>1a<2，所以10，y>0．所以|CP|2=19x2+1681y2+427xy=19x2+1681y2+1627≥2 19x2×1681y2+1627=169，当且仅当19x2=1681y2，即3x=4y，即3|CA|=4|CB|时等号成立，所以|CP|的最小值为43．故答案为：43．17.【答案】(1)|a|=|b|=1，且|3a−2b|= 7，即有(3a−2b)2=7，即9a2−12a⋅b+4b2=7，9−12×1×cos+4=7，即有cos=12，由0≤≤π，可得a与b夹角为π3；(2)由(a+b)⋅b=a⋅b+b2=12+1=32，|a+b|= a2+b2+2a⋅b= 1+1+1= 3，则cos=(a+b)⋅b|a+b|⋅|b|=32 3= 32，由于0≤≤π，即有a+b与b夹角为π6；(3)|3a+b|2=9a2+6a⋅b+b2=9+6×12+1=13，即有|3a+b|= 13，|3a−b|2=9a2−6a⋅b+b2=9−6×12+1=7，即有|3a−b|= 7，故|3a+b||3a−b|= 13 7= 917． 18.【答案】(Ⅰ)由正弦定理及bsinC= 3sinC+3cosC，A=π3得csinB= 3sinC+3cosC，∴csin(C+A)=2 3(12sinC+ 32cosC)，∴csin(C+π3)=2 3sin(C+π3)，∵C∈(0,2π3)，∴C+π3∈(π3,π)，∴sin(C+π3)≠0，∴c=2 3．(Ⅱ)以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(0,0)，B( 3,3)，设C(t,0)，∴M(t+ 32,32)，∵|AM|=3，∴t=2 3，∴C(2 3,0)，又∵P为三角形的重心，∴P( 3,1)，∴圆P：(x− 3)2+(y−1)2=r2(00，得−1
