单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,教学目的：,不定积分换元法,教学重点：,凑微分法,教学难点：,第二类换元法,第二讲 换元法,主视图,问题,解决方法,利用复合函数，设置中间变量,.,过程,令,换元,换元以后再还原,求导数验证结果,凑微分法,第一类换元公式,（,凑微分法,）,说明,使用此公式的关键在于将,定理,1,难,易,凑微分法,证明,证,由复合函数求导法则有,可见,),(,x,F,j,是,),(,),(,x,x,f,j,j,的一个原函数，故公式,(1),成立,公式（）,说明：当积分,不便计算时，可考虑将,g,(,x,),化为,的形式，那么,=,=,=,du,u,f,x,d,x,f,dx,x,x,f,dx,x,g,),(,),(,),(,),(,),(,),(,j,j,j,j,(2),对,u,积分求出,),(,u,f,的原函数,),(,u,F,，再以,),(,x,u,j,=,代回即得,所求积分，这种方法称为,凑微分法,例,1,求,解,（一）,解,（二）,解,（三）,例题,例,2,求,解,一般地,例题,例,3,求,解,例题,例,4,求,解,例题,例,5,求,解,例题,例,6,求,解,例题,例,7,求,解,例题,例,8,求,解,例题,例,9,：求,解：原式,例题,例,10,：求,解：原式,解：原式,=,例,11:,例题,例,12,求,解,例题,例,13,求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分,.,例题,例,14,求,解,例题,例,15:,求,解,（一）,例题,解,（二）,类似地可推出,例题,思考：以下几种形式的积分，如何用凑微分法求积,思考,解,例,16,设 求,.,令,例题,例,17,求,解,换元积分法技巧性强，需要多作练习，,不断归纳，积累经验，才能灵活运用,例题,通过以上例题，可以归纳出如下一般凑微分形式：,凑微分公式,+,+,=,+,),(,),(,1,),(,b,ax,d,b,ax,f,a,dx,b,ax,f,),0,(,a,；,+,+,=,+,),(,),(,2,1,),(,2,2,2,b,ax,d,b,ax,f,a,xdx,b,ax,f,；,),0,(,a,=,x,x,x,x,de,e,f,dx,e,e,f,),(,),(,；,=,x,d,x,f,x,dx,x,f,ln,),(,ln,),(,ln,；,-,=,x,d,x,f,xdx,x,f,cos,),(,cos,sin,),(,cos,；,；,；,；,凑微分公式,回主视图,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法,.,过程,令,再用,“,凑微分,”,难,易,第二类换元法,证：只要证右端的导数等于左端的被积函数,定理,2,由复合函数与反函数的导数，有,第二类换元法,第二类积分换元公式,注：,1,）保证代换,x=,(t),的单调连续（有反函数）；,代换,x,=,(t),，,一起换。
利用第二类换元法求不定积分的关键 在,于选择适当的变量代换第二类换元法常用,于求无理函数的积分,.,注意,被积函数含有根式,解,:,注,:,一般地说，当被积函数含有形如,:,的根号时，可作代换,有理根式积分,解,:,设,，于是,该例可利用凑微分法求解，而且更简洁：,例题,被积函数含有,或,例,18,:,求,解,:,被积函数含有,为此可令,化去根式 此时,于是,二次根式,由于,，故,故,t,a,x,也可用图解法,(,右图,),直接得到,:,例题,例,19,求,解,令,例题,例,20:,求,解,令,例题,例,18,求,解,令,例题,说明,(3),:,以上几例所使用的均为,三角代换,.,三角代换的,目的,是化掉根式,.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,说明,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定,.,说明,(2),例,19,求,（三角代换很繁琐）,令,解,例题,例,20,求,解,令,例题,说明,(3),当分母的阶较高时,可采用,倒代换,例,21,求,令,解,例题,例,22,求,解,令,（分母的阶较高）,例题,倒代换,:,例题,本节得到的一些积分结果常作公式使用,扩充积分公式,习题,4,2,1,填空：,习题,3,设,，求,4,求下列不定积分：,(1),(2),(3),(4),(8),(7),(6),(5),(9),(10),习题,5,写出计算下列积分时所需之变换：,(1),(2),(4),(3),6,求下列不定积分：,(4),(3),(2),(1),习题,回主视图,。
