单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,目录 上页 下页 返回 结束,*,三、向量的混合积,第三节,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,向量的乘法运算,第,七,章,一、两向量的数量积,沿与力夹角为,的直线移动,1.,定义,设向量,的夹角为,称,记作,数量积,(,点积,).,引例,.,设一物体在常力,F,作用下,位移为,s,则力,F,所做的功为,记作,故,2.,性质,为两个非零向量,则有,3.,运算律,(1),交换律,(2),结合律,(3),分配律,事实上,当,时,显然成立,;,例,1.,证明三角形余弦定理,证,:,如图,.,则,设,4.,数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式,得,例,2.,已知三点,AMB,.,解,:,则,求,故,为,).,求单位时间内流过该平面域的流体的质量,P,(,流体密度,例,3.,设均匀流速为,的流体流过一个面积为,A,的平,面域,与该平面域的单位垂直向量,解,:,单位时间内流过的体积,:,的夹角为,且,为单位向量,二、两向量的向量积,引例,.,设,O,为杠杆,L,的支点,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,矩是一个向量,M,:,的力,F,作用在杠杆的,P,点上,则力,F,作用在杠杆上的力,1.,定义,定义,向量,方向,:,(,叉积,),记作,且符合右手规则,模,:,向量积,称,引例中的力矩,思考,:,右图三角形面积,S,2.,性质,为非零向量,则,3.,运算律,(2),分配律,(3),结合律,(,证明略,),证明,:,4.,向量积的坐标表示式,设,则,向量积的行列式计算法,(,行列式计算见上册,P355,P358),例,4.,已知三点,角形,ABC,的面积,.,解,:,如图所示,求三,一点,M,的线速度,例,5.,设刚体以等角速度,绕,l,轴旋转,导出刚体上,的表示式,.,解,:,在轴,l,上引进一个角速度向量,使,其,在,l,上任取一点,O,作,它与,则,点,M,离开转轴的距离,且,符合右手法则,的夹角为,方向与旋转方向符合右手法则,向径,*,三、,向量的混合积,1.,定义,已知三向量,称数量,混合积,.,记作,几何意义,为棱作平行六面体,底面积,高,故平行六面体体积为,则其,2.,混合积的坐标表示,设,3.,性质,(1),三个非零向量,共面的充要条件是,(2),轮换对称性,:,(,可用三阶行列式推出,),例,6.,已知一四面体的顶点,4),求该四面体体积,.,解,:,已知四面体的体积等于以向量,为棱的平行六面体体积的,故,例,7.,已知,A,(1,2,0),、,B,(2,3,1),、,C,(4,2,2),、,四点共面,求点,M,的坐标,x,、,y,、,z,所满足的方程,.,解,:,A,、,B,、,C,、,M,四点共面,展开行列式即得点,M,的坐标所满足的方程,AM,、,AB,、,AC,三向量共面,即,内容小结,设,1.,向量运算,加减,:,数乘,:,点积,:,叉积,:,混合积,:,2.,向量关系,:,思考与练习,1.,设,计算,并求,夹角,的正弦与余弦,.,答案,:,2.,用向量方法证明正弦定理,:,证,:,由三角形面积公式,所以,因,P22 3,4,6,7,9,(1);(2),10,12,第三节,作业,备用题,1.,已知向量,的夹角,且,解：,在顶点为,三角形中,求,AC,边上的高,BD,.,解：,三角形,ABC,的面积为,2.,而,故有,。
