正态分布是应用最正态分布是应用最广泛的一种连续型分布广泛的一种连续型分布.正态分布在十九世纪前叶由正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高高斯加以推广，所以通常称为高斯分布斯分布.德莫佛德莫佛 德莫佛最早发现了二项概德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式率的一个近似公式，这一公式被认为是被认为是正态分布的首次露面正态分布的首次露面.第五讲第五讲 正态分布正态分布 （高斯（高斯GaussGauss分布）分布）高高尔尔顿顿钉钉板板试试验验这条曲线就近似我们将要介绍这条曲线就近似我们将要介绍的的正态分布正态分布的密度曲线的密度曲线正态分布的定义是什么呢？正态分布的定义是什么呢？对于连续型随机变量，一般是给出对于连续型随机变量，一般是给出它的它的概率密度函数概率密度函数一、正态分布的定义一、正态分布的定义 若若r.v X的的概率密度为概率密度为记作记作 f(x)所确定的曲线叫作所确定的曲线叫作正态曲线正态曲线.其中其中 和和 都是常数，都是常数，任意，任意，0，则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布.下面验证满足概率密度性质下面验证满足概率密度性质:(1)f(x)0,(2)证明：证明：而而 令令 t=cos,u=sin从而从而 二、正态分布二、正态分布 的图形特点的图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对对称的钟形曲线称的钟形曲线.特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”.”.决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度.正态分布正态分布 的图形特点的图形特点 能不能根据密度函数的表达式，能不能根据密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？得出正态分布的图形特点呢？容易看到，容易看到，f(x)0即整个概率密度曲线都在即整个概率密度曲线都在x轴的上方轴的上方;故故f(x)以以为对称轴，并在为对称轴，并在x=处达到最大处达到最大值值:令令x=+c,x=-c(c0),分别代入分别代入f(x),可得可得f(+c)=f(-c)且且 f(+c)f(),f(-c)f()这说明曲线这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越向左右伸展时，越来越贴近贴近x轴。
即轴即f(x)以以x轴为轴为渐近线渐近线当当x 时，时，f(x)0,用求导的方法可以证明，用求导的方法可以证明，为为f(x)的两个的两个拐点的横坐标拐点的横坐标x=这是高等数学的内容，如果忘记了，课下这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下再复习一下根据对密度函数的分析，也可初步画出正根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图态分布的概率密度曲线图下面是我们用某大学男大学生的身高下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图的数据画出的频率直方图红线红线是拟是拟合的正态合的正态密度曲线密度曲线可见，某大学男大学生的身高可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布应服从正态分布人人的的身身高高高高低低不不等等，但但中中等等身身材材的的占占大大多多数数，特特高高和和特特矮矮的的只只是是少少数数，而而且且较较高高和和较较矮矮的的人人数数大大致致相相近近，这这从从一一个个方方面面反反映映了了服服从从正正态态分分布布的的随随机机变变量量的的特特点除了我们在前面遇到过的身高外除了我们在前面遇到过的身高外,在正在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布似服从正态分布.服从正态分布服从正态分布 的随机变量的随机变量X的的概率密度是概率密度是X的分布函数的分布函数P(Xx)是怎样的呢？是怎样的呢？设设X ,X的分布函数是的分布函数是 正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯唯一确定，一确定，当当和和不同时，是不同的正不同时，是不同的正态分布。
态分布标准正态分布标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布三、标准正态分布三、标准正态分布的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：它的依据是下面的定理：它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，标准正态分布的重要性在于，任何一个任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布标准正态分布.根据定理根据定理1,1,只要将标准正态分布的只要将标准正态分布的分布分布函数制成表函数制成表，就可以解决一般正态分布的概，就可以解决一般正态分布的概率计算问题率计算问题.,则则 N(0,1)设设定理定理1 书末附有标准正态分布函数数值表，有了书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.四、正态分布表四、正态分布表表中给的是表中给的是x0时时,(x)的值的值.当当x0时时若若N(0,1)若若 XN(0,1),由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3 区间区间内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X|1)=2 (1)-)-1=0.6826 P(|X|2)=2 (2)-)-1=0.9544P(|X|3)=2 (3)-)-1=0.9974五、五、3 3 准则准则将上述结论推广到一般的正态分布将上述结论推广到一般的正态分布,时，时，可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在区间内区间内.这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则”（三倍标准差原则）（三倍标准差原则）.例例2 公共汽车车门的高度是按男子与车门公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在以下来设计的顶头碰头机会在以下来设计的.设男子设男子身高身高XN(170,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定?解解:设车门高度为设车门高度为h cm,按设计要求按设计要求P(X h或或 P(X h)，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的 h.再看一个应用正态分布的例子再看一个应用正态分布的例子:因为因为XN(170,62),),故故 P(X0.99所以所以 =2.33,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过.P(X h)0.99求满足求满足的最小的的最小的 h.这一讲，我们介绍了正态分布，这一讲，我们介绍了正态分布，它的它的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道它打交道.后面第五章中，我们还将介绍为什么后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布这么多随机现象都近似服从正态分布.一、问题的提出一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣更感兴趣.求截面面积求截面面积 A=的分布的分布.例如，已知圆轴截面直径例如，已知圆轴截面直径 d 的分布，的分布，第六讲第六讲 随机变量函数随机变量函数分布分布 一、问题的提出一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣更感兴趣.已知已知t=t0 时刻噪声电压时刻噪声电压 V的分布，的分布，求功率求功率 W=V2/R (R为电阻）为电阻）的分布等的分布等.设随机变量设随机变量X 的分布已知，的分布已知，Y=g(X)(设设g是连续函数），如何由是连续函数），如何由 X 的分布求的分布求出出 Y 的分布？的分布？下面进行讨论下面进行讨论.这个问题无论在实践中还是在理论这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的上都是重要的.二、离散型随机变量二、离散型随机变量函数的分布函数的分布解：解：当当 X 取值取值 1，2，5 时，时，Y 取对应值取对应值 5，7，13，例例1求求 Y=2X+3 的概率分布的概率分布.而且而且X取某值与取某值与Y取其对应值是两个同时发生取其对应值是两个同时发生的事件的事件，两者具有相同的概率，两者具有相同的概率.故故X 1 2 5 P 0.2 0.5 0.3X 5 7 13 P 0.2 0.5 0.3如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当中有一些是相同的，把它们作适当并项即可并项即可.一般，若一般，若X是离散型是离散型 r.v，X的概率分布列为的概率分布列为则则 Y=g(X)X x1 x2 xn P p1 p2 pn g(X)g(x1)g(x2)g(xn)P p1 p2 pn 如：如：则则 Y=X2 的概率函数为：的概率函数为：X -1 0 1 P 0.3 0.6 0.1X 0 1 P 0.6 0.4 三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布 已知随机变量已知随机变量X的分布函数的分布函数FX(x),概率密度概率密度fX(x),求随机变量求随机变量Y=g(X)的分布函数的分布函数FY(y),概率概率密度密度fY(y)时，有两种方法：时，有两种方法：1.分布函数法分布函数法:(1)FY(y)=P(Yy)=Pg(X)y2.将它用将它用FX(x)表示，表示，(2)解：解：设设Y的分布函数为的分布函数为 FY(y)，例例2设设 X 求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.FY(y)=P Y y =P(2X+8 y)=P X =FX()于是于是Y 的密度函数的密度函数故故注意到注意到 0 x 4 时，时，即即 8 y 0 时时,注意到注意到 Y=X2 0，故当，故当 y 0时，时，设设Y和和X的分布函数分别为的分布函数分别为 和和 ，解：解：若若则则 Y=X2 的概率密度为：的概率密度为：从上述两例中可以看到，在求从上述两例中可以看到，在求P(Yy)的过的过程中，关键的一步是设法程中，关键的一步是设法从从 g(X)y 中解出中解出X,从而得到与从而得到与 g(X)y 等价的等价的X的不等式的不等式.例如，用例如，用 代替代替 2X+8 y X 用用 代替代替 X2 y 这样做是为了利用已知的这样做是为了利用已知的 X的分布，从的分布，从而求出相应的概率而求出相应的概率.这是求的函数的分布的一种常用方法这是求的函数的分布的一种常用方法.例例4 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求求Y=sinX的概率密度的概率密度.当当 y 0时时,当当 y 1时时,当当时时故故解解:注意到注意到,=P(0 X arcsiny)+P(-arcsiny X ）解：解：当当0y1时时,例例4 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求求Y=sinX的概率密度的概率密度.当当0y1,G(y)=1;对对y0,G(y)=0;由于由于对对0y1,G(y)=P(Y y)=P(F(X)y)=P(X (y)=F(y)=y即即Y的分布函数是的分布函数是求导得求导得Y的密度函数的密度函数可见可见,Y 服从服从0，1上的均匀分布上的均匀分布.本例的结论在计算机模拟中有重要的应用本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.例如，想得到具有密度函数为例如，想得到具有密度函数为的随机数的随机数.参数为参数为 的的指数分布指数分布 根据前面的结论，根据前面的结论，Y=F(X)服从服从0,1上的均匀分布上的均匀分布.由于由于 当当x0时，时，是严格单调的连续函数是严格单调的连续函数.应如何做呢？应如何做呢？于是得到产生指数分布的随机数的方于是得到产生指数分布的随机数的方法如下法如下:均匀随机数均匀随机数 ui给指数分布参数给指数分布参数令令指数随机数指数随机数 下面给出一个定理，在满下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度随机变量函数的概率密度.2.公式法：公式法：定理定理1：若若y=g(x)连续且严格单调，其反函数连续且严格单调，其反函数 x=h(y)具有连续导数，则具有连续导数，则Y=g(X)为连续为连续 型随机变量，其概率密度为：型随机变量，其概率密度为：定理定理2：若若y=g(x)连续且在不相交的区间连续且在不相交的区间I1，I2，In上逐段严格单调，对应的反函数分上逐段严格单调，对应的反函数分 别为别为h1(y),h2(y),hn(y),则则Y=g(X)为连续为连续 型随机变量，其概率密度为：型随机变量，其概率密度为：例例6 设随机变量设随机变量X在在(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，求求Y=-2lnX的概率密度的概率密度.解：解：在区间在区间(0,1)上上,函数函数lnx0,于是于是 y在区间在区间(0,1)上单调下降，有反函数上单调下降，有反函数由前述定理得由前述定理得注意取注意取绝对值绝对值已知已知X在在(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，代入代入 的表达式中的表达式中得得即即Y服从参数为服从参数为1/2的指数分布的指数分布.对于连续型随机变量，在求对于连续型随机变量，在求Y=g(X)的的分布时，分布时，关键的一步是把事件关键的一步是把事件 g(X)y 转转化为化为X在一定范围内取值的形式在一定范围内取值的形式，从而可以，从而可以利用利用 X 的分布来求的分布来求 P g(X)y.这一讲我们介绍了随机变量函数的分布这一讲我们介绍了随机变量函数的分布.P66 例例4的结论记住，即若的结论记住，即若XN（,2）则则Y=aX+bN(a+b,a22).正态变量的线性函正态变量的线性函数仍为正态变量。
数仍为正态变量第第三三章章内内容容总总框框图图随机变量及其分布随机变量及其分布 随机变量概念的引入 连续型随机变量及其概率密度离散型随机变量及其概率分布列概率密度与分布函数的关系随机变量的分布函数分布列与分布函数的关系几种重要的连续型分布随机变量函数的分布 几种重要的 离散型分布均匀分布正态分布指数分布二项分布的正态近似二项分布泊松分布几何分布超几何分布二项分布的泊松近似。
