单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、,函数的极值,第四节,函数的极值与,最值的应用,第,四,章,三、,经济应用举例,二、,函数的最值,一、函数的极值及其求法,x,y,o,x,2,x,3,x,5,x,4,x,1,a,b,y,=,f,(,x,),x,0,x,0,极 值 的 定 义,设函数,y,=,f,(,x,),在,x,0,的某一邻域内有定义,定义,如果对任意的,x,x,0,恒有,则称,f,(,x,0,),为,f,(,x,),的一个,极大,(,小,),值,.,f,(,x,),f,(,x,0,),x,0,x,0,函数的极大值与极小值统称为,极值,函数取得极值,的点称为,极值点,.,例,y,=sin,x,x,0,2,sin,x,在 取极大值,2,3,2,sin,x,在 取极小值,注意,:,0,和,2,不是,sin,x,的极值点,极值存在的必要条件,x,0,x,0,定理,设函数,y,=,f,(,x,),在极值点,x,0,可导,则,f,(,x,0,),=0,.,注,1,:,如果,f,(,x,),=0,那么称,x,0,为,f,(,x,),的,驻点,.,极值存在的必要条件,定理,设函数,y,=,f,(,x,),在极值点,x,0,可导,则,f,(,x,0,),=0,.,注,1,:,如果,f,(,x,),=0,那么称,x,0,为,f,(,x,),的,驻点,.,注,2,:,驻点不一定是极值点,.,x,y,o,y,=|,x,|,x,y,o,y=x,3,x,y,o,y=x,2,注,3,:,不可导点也可能是极值点,.,极值可疑点,不可导点,驻点,?,两个充分条件,极值存在的第一充分条件,定理,设函数,x,0,是,f,(,x,),的极值可疑点,f,(,x,),在,x,0,的某一,邻域内,(,x,0,d,x,0,+,d,),连续且可导,(,在,x,0,可以不可导,):,(1),当,x,(,x,0,d,x,0,),时,f,(,x,),0,当,x,(,x,0,x,0,+,d,),时,f,(,x,),0,则,x,0,是,f,(,x,),的,极大值,点,.,(2),当,x,(,x,0,d,x,0,),时,f,(,x,),0,则,x,0,是,f,(,x,),的,极小值,点,.,(3),在上述两个区间,f,(,x,),同号,则,x,0,不是极值点,.,+,x,0,+,x,0,x,0,+,+,x,0,一阶导数变号法,例,1,解,f,(,x,)=3,x,2,6,x,9,=3,(,x,+,1)(,x,3),求函数,f,(,x,)=,x,3,3,x,2,9,x+,5,的极值,.,f,(,x,),x,1,=,1,x,2,=3,x,f,(,x,),1,3,(,1),(,1,3),(3,+,),令,f,(,x,)=0,得,:,+,0,+,0,极大,极小,极大值,f,(,1),=10,极小值,f,(3),=,22,例,1,求函数,f,(,x,)=,x,3,3,x,2,9,x+,5,的极值,.,M,m,图形如下,:,例,2,解,求函数,的极值,.,当,x,=2,时,f,(,x,),不存在,但,f,(,x,),在,R,上连续,.,当,x,0,当,x,2,时,f,(,x,),0,则,f,(,x,),在,x,0,取极,小,值,;,+,x,0,+,x,0,(2),如果,f,(,x,0,),0,则,f,(,x,),在,x,0,取极,大,值,.,称为“二阶导数非零法”,1.,记忆,特例法,:,y,=,x,2,y,=,x,2,说明：,2.,只适用于驻点,不能用于判断不可导点,3.,f,(,x,0,)=0,时不可使用,.,x,y,o,y=x,3,例,3,求函数,f,(,x,)=,x,3,+,3,x,2,24,x,20,的极值,.,解,f,(,x,)=3,x,2,+,6,x,24,f,(,x,)=6,x,+,6,=3,(,x,+,4)(,x,2),令,f,(,x,)=0,得,:,极大值,f,(,4),=60,=,48,f,(,4)=,x,1,=,4,x,2,=2,18,0,极小值,f,(2),M,m,例,3,求函数,f,(,x,)=,x,3,+,3,x,2,24,x,20,的极值,.,图形如下,:,1.,确定函数的定义域；,4.,用极值的第一或第二充分条件判定.,注意,:,第二充分条件只能判定驻点的情形.,求极值的步骤,:,2.,求导数,f,(,x,);,3.,求定义域内的极值可疑点,(,即驻点和一阶,不可导点,),；,二、函数的最值及其求法,极值是,局部,的,而最值是,全局,的,.,若函数,f,(,x,),在,a,b,上连续,则函数,f,(,x,),在,a,b,上,存在,最大值,和,最小值,.,求闭区间,a,b,上,最值的步骤,:,3.,最大值,M,=max,f,(,x,1,),f,(,x,k,),f,(,a,),f,(,b,),最小值,m,=min,f,(,x,1,),f,(,x,k,),f,(,a,),f,(,b,).,1.,求出定义域内所有的极值可疑点,(,驻点和一阶,不可导点,),x,1,x,2,x,k,并算出相应函数值,f,(,x,k,);,2.,计算,f,(,a,),f,(,b,),；,例,4,求函数,f,(,x,)=,在,1,0.5,上的最值,.,解,x,=0,是,f,(,x,),的不可导点,.,令,f,(,x,)=0,得,:,最大值是,0,x,1,=,2,5,f,(0)=0,f,(,1)=,2,最小值是,2,例,5,求函数,y,=,在,上的最值,.,解,当 时,y,0,又,y,在 上是连续的,y,在 上单调递增,最小值是,y,没有最大值,更进一步,若,实际问题,中有最大(小)值,且有唯一驻点,则不必判断极大还是极小,立即可以断定该驻点即为最大(小)值点.,说明:,1.,如果,f,(,x,),在,a,b,上单调,则它的最值必定在,端点,a,和,b,处取得,;,2.,如果,f,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内可导,且有,唯一,驻点,x,0,为极值点,则,f,(,x,0,),必定是最大值,或最小值,;,例,6,当,0,x,1,p,1,时,证明,证,令,f,(,x,)=,x,p,+(1,x,),p,结论成立,.,f,(0)=,f,(1)=1,f,(,x,)=,p,x,p,1,p,(1,x,),p,1,令,f,(,x,)=0,得驻点,x,=1/2,例,7,解,将边长为,a,的正方形铁皮,四角各截去,相同的小正方,形,折成一个无盖方盒,问如何,截,使方盒的容积最大？为多少？,a,x,a,-,2,x,设小正方形的边长为,x,，,则方盒的容积为,例,7,解,将边长为,a,的正方形铁皮,四角各截去,相同的小正方,形,折成一个无盖方盒,问如何,截,使方盒的容积最大？为多少？,设小正方形的边长为,x,，,则方盒的容积为,a,-,2,x,求导得,:,V,=,x,(,a,2,x,),2,V,=(,a,2,x,)(,a,6,x,),唯一驻点,x,=,a,/,6,三、经济应用举例,1.平均成本(,AC),最低问题,例,8,设成本函数为,则平均成本为,得唯一驻点,x,=400,此时平均成本和边际成本均为4.,一般,当平均成本最低时,平均成本与边际成本相等.,所以当,x,=400,时,平均成本最低,.,2.最大利润问题,例,9,利润函数为,解,故当产量,x,=7,时,利润最大,.,此时价格,p,=44.,设某产品的需求量,x,是价格,p,(,元,),的函数,:,每天生产该产品的成本函数为,C,(,x,)=120+2,x,+,x,2,问工厂每天产量为多少时,利润最大,?,此时价格多少,?,令,L,(,x,),=70,10,x,=0,而,L,(,x,),=,10,0,得唯一驻点,x,=7,某厂生产某种商品,其年销售量为100万件,每批生产需增加准备费1000元,而每件商品的库存费为0.05元.如果年销售率是均匀的(即商品库存数为批量的一半),问应分几批生产,能使生产准备费和库存费之和最小？,3.最优批量库存问题,例,10,解,设分,x,批生产,则生产准备费和库存费之和为,得唯一驻点,x,=5,作业,P182,1(2),(5),3(1),(2),4,8,。
