单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,一、偏导数的定义及其计算法,或,或,存在,存在,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如 在 处,解,由偏导数的定义可知，求,z=,f(x,y,),并不需要新的方法，只在应,用一元函数求导法就可以了：,求,时，把,y,看成是常数而对,x,求导；,求,时，把,x,看成是常数而对,y,求导；,证,原结论成立,例,4,求,的偏导数解,练习：,1.,（,1,）（,3,）（,5,）,解,不存在,证,结果不是,1,，说明偏导 不能看成微商，但导数,能看成微商有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,偏导数的几何意义,如图,几何意义:,练习：,5.,例 5,解,按定义可知：,偏导数存在与连续的关系,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,一元函数中在某点可导,连续，,多元函数中在某点偏导数存在,连续，,纯偏导,混合偏导,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,二、高阶偏导数,解,原函数图形,偏导函数图形,偏导函数图形,二阶混合偏导函数图形,观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：,练习：,6.,（,1,）（,3,）,解,问题：,混合偏导数都相等吗？,例 8,解,按定义可知：,问题：,具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？,证毕,解,证：,例,8,设,证明：函数 满足方程,所以,和,都叫拉普拉斯方程，,在研究热传导、流体运动等问题中有着重要的应用。
练习：,8.,偏导数的定义,偏导数的计算、偏导数的几何意义,高阶偏导数,（偏增量比的极限）,纯偏导,混合偏导,（相等的条件）,三、小结,思考题,思考题解答,不能.,例如,练 习 题,练习题答案,。
