第一节 导数的基本概念,一 问题的提出,二 导数的定义 三 求导数举例 四 导数的几何意义 五 可导与连续的关系,六 小结,,1.变速直线运动的速度问题,,,,,,一、问题的提出,时刻的瞬时速度,求,函数为,设动点于时刻的位置,如图,,,,的时刻,取一邻近于,运动时间,取极限得,瞬时速度,当,时，,2.切线问题,割线的极限位置—切线位置,播放,M,,N,T,,如图,,极限位置即,,如果割线 绕点 旋转而趋向极限位置 ,直线 就称为曲线 在点 处的,切线,.,(,1.函数在一点处的导数,,二、导数的定义,y,记为,处的导数,,在点,数,并称这个极限为函,处可导,,在点,则称函数,时的极限存在,,之比当,与,如果,得增量,取,相应地函数,时,,仍在该邻域内),点,处取得增量,在,当自变量,有定义,,,的某个邻域内,在点,定义1.设函数,导数的定义也可为下列形式,：,即,2. 函数在区间内的导数,,,,,.,,,内的每点,在区间,如果函数,的导函数,原来函数,导数值.这个函数叫做,的一个确定的,都对应着,对于任一,内可导.,在开区间,处都可导，就称函数,3 单侧导数,左导数:,,右导数:,,,,,,,4.分段函数的导数,,(1)求增量,,(2)算比值,(3)求极限,(,,解,即,常数的导数是零.,三、 由定义求导数举例,例1,,为常数)的导数.,求函数,例如,,,解,更一般地,即,例2,求函数,(n为正整数)的导数.,,例3,,求函数,,解,,,故,同样地,，,,,例4,求函数,的导数.,(换地公式),解,,特别地，,,求函数,例5,的导数.,,,,,解,(无穷小等价代换),即,,例6,求函数,的导数.,,,解,,当,当,当,不存在.,即,切线方程为,法线方程为,,为斜率,),,在,,表示曲线,处切线,如果函数,处可导,，,在点,的斜率，即,,则,四、导数的几何意义,轴的直线,，,特别， 当,时,，,切线是平行于,法线是平行于,轴的直线,，,当,时,，,切线是平行于,轴的直线,，,法线是平行于,轴的直线，,,解,根据导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,即,即,例7,求曲线,在(2,4)处的切线的斜率，并,写出在该点处的切线方程和法线方程.,定理： 可导函数是连续函数.,证,五、函数可导与连续的关系,注意:,反之不成立.即连续不一定可导。
比如,函数,处连续但不可导.,在,同理可证:,及,在,处连续但不可导.,,解,,由可导与连续的关系,可知:,所以,即,例8,,设,试确定,使得,在,在处可导.,1. 导数的实质: 增量比的极限;,3. 导数的几何意义:切线的斜率;,4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;,5. 求导数最基本的方法:由定义求导数.,2.,,,6. 判断可导性,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义;,左右导数是否存在且相等.,六 小结与思考判断题,2.切线问题,切线：割线的极限,M,,T,N,,2.切线问题,切线：割线的极限,M,,T,N,,2.切线问题,切线：割线的极限,M,,T,N,,2.切线问题,切线：割线的极限,M,,T,N,2.切线问题,切线：割线的极限,M,,T,N,2.切线问题,切线：割线的极限,M,,T,N,2.切线问题,切线：割线的极限,M,,T,N,2.切线问题,切线：割线的极限,M,,T,N,2.切线问题,切线：割线的极限,M,,T,N,2.切线问题,切线：割线的极限,结束,M,,T,N,割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,。
