第二节 函数的极限,当,x,1时,如图,1,0,1,x,y,二、,x,x,0,时函数,f,(,x,),的极限,定义4,设,f,(,x,)在点,x,0,的,某空心邻域,内有定义,A,为常数.,若,x,无限接近,x,0,时,f,(,x,)的值,无限接近,A,则称,A,为,f,(,x,)在,x,x,0,时的极限.,记为,或,f,(,x,),A,(,x,x,0,),定义4,设,f,(,x,)在点,x,0,的,某空心邻域,内有定义,A,为常数.,0,若,0,则称,A,为,f,(,x,)在,x,x,0,时的极限.,当 0|,x,x,0,|,时,恒有,|,f,(,x,),A,|0,只要取,=,于是,当 0|,x,1,|0,欲使,|3,x,12|,于是,当 0|,x,1|,时,恒有,|3,x,12|0,欲使,|sin,x,sin,x,0,|,x,x,0,|,于是,当 0|,x,x,0,|,时,只要取,=,恒有,|sin,x,sin|0,若,0,当,x,0,x,x,0,+,时,恒有,|,f,(,x,),A,|0,0,使当 0|,x,x,0,|,时,有,|f,(,x,),A|,令,=f,(,x,),A,则,|,|,0,0,使当 0|,x,x,0,|,时,有,|,|,即,|f,(,x,),A|,于是,|f,(,x,),A|=,|,|,其中,A,为常数,二、无穷大量,0,y,x,0,y,x,y,=ln,x,其特点:,在自变量的给定趋向下,函数的绝对值无限增大,.,1.,定义:,在自变量的,一定趋向下,(,x,x,0,或,x,),若|,f,(,x,)|,无限增大,则称,f,(,x,),为该趋向下,的无穷大量,简称,无穷大,.,记为,例如,正无穷大量:,负无穷大量:,1,不要将无穷大量与很大的数混淆.,无穷大量是变量,很大的数的极限是它本身,并非无穷大.,2,不要把无穷大与无界量等同起来.,无穷大量一定是无界的,但无界量不一定是无穷大量.,注:,比如,f,(,x,)=,x,sin,x,在(,+)内是无界的,但它不是无穷大量(因在,x,的过程中,当,x,n,=2,n,时,f,(,x,n,)=0,).,定 理:,在自变量的一定趋向下,2.无穷大和无穷小的关系,1)如果,f,(,x,),是无穷大量,2)如果,f,(,x,),是无穷小量且,f,(,x,),0,3.无穷大量性质:,1)无穷大量与有界量的和仍为无穷大量.,2)有限个无穷大量的积仍为无穷大量.,3)两个正无穷大之和仍为正无穷大,两个负无穷大之和仍为负无穷大.,例2.,练 习,综述两个无穷小(大)量的和差、积商.(见P46),注意:,例如,(答案:2),(答案:不存在),的未定性.,。
