Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节 曲线的凹凸性与拐点,一、曲线的凹凸性,二、曲线的拐点,对于任意的 ，曲线弧,y,=,f,(,x,)过点 的切线总位于曲线弧,y=f,(,x,)的下方，则称曲线弧,y=f,(,x,)在,a,b,上为,凹,的.,定义,设函数,f,(,x,)在,a,b,上连续，在(,a,b,)内可导.,(2)若对于任意的 ，曲线弧,y,=,f,(,x,)过点 的切线总位于曲线弧,y=f,(,x,)的上方，则称曲线弧,y=f,(,x,)在,a,b,上为,凸,的.,一、,曲线的凹凸性,如果,y=f,(,x,)在(,a,b,)内二阶可导，则可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性.,定理(曲线凹凸的判定法),设函数,y=f,(,x,)在,a,b,上连续，在(,a,b,)内二阶可导.,(1)若在(,a,b,)内 ，则曲线弧,y=f,(,x,)在,a,b,上为凹的.,(2)若在(,a,b,)内 ，则曲线弧,y=f,(,x,)在,a,b,上为凸的.,判定曲线弧,y=x,arctan,x,的凹凸性.,故,y=x,arctan,x,在 内为凹的.,例1,所给曲线在 内为连续曲线弧.由于,解,判定曲线弧 的凹凸性.,因此当,x,0时，可知曲线弧 为凹的.,例2,所给曲线在 内为连续曲线弧.由于,解,定义,连续曲线弧上的凹弧与凸弧的分界点，称为该曲线弧的,拐点,.,二、曲线的拐点,试判定点,M,(0,0)是否为下列曲线弧的拐点.,例3,分析,从而知点(0,0)为曲线弧 的拐点.,(1)在,f,(,x,)所定义的区间内，求出二阶导数 等于零的点.,(2)求出二阶导数 不存在的点.,判断连续曲线弧拐点的步骤：,(3)判定上述点两侧，是否异号.如果 在 的两侧异号，则 为曲线弧的,y=f,(,x,)的拐点.如果 在 的两侧同号，则 不为曲线弧,y=f,(,x,)的拐点.,讨论曲线弧 的凹凸性，并求其拐点.,x,1,(1,2),2,+,0,0,+,y,凹,拐点,(1,3),凸,拐点,(2,6),凹,例4,所给函数,内连续.,解,可知所给曲线弧在 内为凹的.在(1,2)为凸的.,拐点为点(1,3)与点(2,6).,讨论曲线 的凹凸性，并求其拐点.,例5,所给函数,内为连续函数.,解,0,+,不存在,+,y,凸,拐点,凹,非拐点,凹,可知所给曲线在 为凸的.,在 内为凹的.,。
