单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 方差分析,3.1,数据处理的概念和意义,数据处理主要研究实验测量或观察数据分析计算的处理方法，从而得出可靠或规律性的结果依据这个规律和结果对工业生产、农业生产、天气、地震等进行预报和控制，从而掌握和主宰客观事物的发展规律，使之服从和服务于人类数据处理的方法很多，如参数估计、假设检验、方差分析和回归分析等3.2,方差分析的概述,方差分析,(Analysis of Variance),由英国统计学家,首创,，为纪念,Fisher,，,以,F,命名，故方差分析又称,F,检验3.2.1,方差分析的概念和意义,方差分析的中心点,是把实验观测数据总的波动分解为反映因素水平变化引起的波动和反映实验误差引起的波动两部分方差分析亦即把实验观测数据的总的偏差平方和（,S,T,）分解为反映必然性的各个因素的偏差平方和（,S,A,、,S,B,、,、,S,N,）与反映偶然性的误差偏差平方和（,S,e,），并计算比较它们的平均偏差平方和，以找出对实验观测数据起决定性影响的因素作为进行定量分析判断的依据。
方差分析能把实验过程中实验条件改变所引起的数据波动与实验误差引起的数据波动区分开，同时对影响实验结果的各因素的重要程度给以精确的数量估计方差分析类型很多，概括起来有以下几种：,（,1,）单因素实验的方差分析,（,2,）多因素实验的方差分析,（,3,）正交实验设计的方差分析,（,4,）,SN,比实验设计法,3.2.2,单因素实验的方差分析,在一项实验中，若只有一个因素的水平在改变，而其他因素的水平固定不变，这就叫做,单因素实验,3.2.2.1,方差分析的基本思想,例,3.1,考察生产某化工产品时反应温度,A,（）对收率,y,（）的影响为此，比较两个反应温度,A,1,30,，,A,2,40,1,2,3,4,5,平均值,A,1,（,30,）,75,78,60,61,83,71.4,A,2,（,40,）,89,62,93,71,85,80.0,实验号,水平,表,3.1,某化工产品收率实验数据表,条件误差：,由于实验条件的不同而引起的差异叫,“,条件误差,”,实验误差：,即同一条件（同水平）下，存在偶然因素而引起的差异叫,“,实验误差,”,，即,“,随机误差,”,为了考察某个因素对指标的作用，必须将,总误差,分解为条件误差和实验误差，并比较之，作出因素对指标的作用是否显著的结论，这种分析方法称为,方差分析法,。
条件误差、实验误差、总误差之间有什么关系呢？,用全部,10,个实验数据与总的平均值,（,75.7,）,之差的偏差平方和来估计总的误差，这个平方和称为,总的偏差平方和,，记为,S,T,，即,S,T,(75-75.7),2,+(78-75.7),2,+,+(85-75.7),2,1294.10,用同一条件（水平）下,5,次实验的数据与其平均值之差的偏差平方和来估计实验误差，即,对,A,1,（,30,）,条件下：,S,1,(75-71.4),2,+(78-71.4),2,+,+(83-71.4),2,429.20,对,A,2,（,40,）,条件下：,S,2,(89-80.0),2,+(62-80.0),2,+,+(85-80.0),2,680.00,这两个偏差平方和相加，反映了实验误差的大小，称为,组内偏差平方和,或误差平方和（,S,e,）,:,S,e,S,1,+,S,2,429.20+680.00,1109.20,用每种条件（水平）的数据平均值与总的平均值差的偏差平方和来估计条件误差因每种条件重复了,5,次，故将此平方和,5,倍，称为,组间偏差平方和,或因素的偏差平方和（,S,A,）：,S,A,5(71.4-75.7),2,+5(80.0 75.7),2,184.90,可以看出，此处有,S,T,S,A,+,S,e,184.90+1109.20,1294.10,即总的偏差平方和可以分解为组间偏差平方和与组内偏差平,方和。
有了,S,A,和,S,e,之后，是否就能直接比较出由于因素水平的变化引起的数据波动与实验误差引起的数据波动之间的差异呢？,偏差平方和不仅与数据本身有关，而且还与数据的个数有关为此，必须消除数据个数的影响，采用平均偏差平方和,S,A,/f,A,（组间方差）与,S,e,/f,e,（组内方差）进行比较，并以此作出推断其中，,f,A,和,f,e,分别称为,S,A,与,S,e,的自由度（即偏差平方和式中独立数据的个数）对,S,e,而言，因为其中的,10,个数据满足两个关系式,(75+78+60+61+83)/5=71.4,(89+62+93+71+85)/5=80.0,所以,S,e,的自由度,f,e,=10-2,8.,对,S,A,而言，因为其中的,2,个数据有一个关系式,(71.4+80.0)/2=75.7,所以,S,A,的自由度,f,A,=2-1=1.,对,S,T,而言，因为其中的,10,个数据有一个关系式,(75+78+60+61+83+89+62+93+71+85)/10=75.7,所以,S,T,的自由度,f,T,=10-1=9.,显然,f,T,=,f,A,+,f,e,=1+8=9.,如果平方和是由,n,项组成，它的自由度就是,n,1,，如果一个平方和是由几部分的平方和组成，则总的自由度等于各部分自由度之和。
计算,F,值：,然后对因素进行显著性检验F,值的大小，可以用来判断因素水平对考察指标影响的显著性F,值接近,1,，说明因素水平改变对考察指标的影响在误差范围内，即水平间无显著差异；,F,值越大，说明因素水平的改变对指标的影响超过了实验误差造成的影响，即条件误差相对实验误差大得多F,多大时，可以说因素的水平改变对考察指标的影响是显著的呢,？小到多小，认为实验结果的误差主要是实验误差引起的，这就需要有一个标准这个标准由,F,表给出在,F,表上，横行,n,1,代表,F,值中分子的自由度，竖行,n,2,代表,F,值中分母的自由度，相交后的数值即为,F,比的临界值本例中，因,对,0.05,，查得,F,0.05,(1,8),5.3,，,为置信度（显著水平），表示在作出某种判断时犯错误的概率因,F,1.33,F,（,f,1,，,f,2,）时，如,0.1,，就有,90,的把握说因素,A,的水平改变对实验结果有显著影响根据正交表的特点，其方差分析可以按下述原则进行：,总的平方和恰好等于各列的平方和之和方差分析的优点是能把总平方和分解成因素与误差平方和计算规格化在正交设计中每个因素列（包括交互作用列和误差列）的计算步骤完全一样。
因此，方差分析的基本计算可逐列进行3.2.4,正交实验设计的方差分析,3.2.4.1,相同水平正交实验设计的方差分析,例,3.3,用两种不同蒸养时间和振捣方式进行混凝土增强效果的比较试验试验中的因素与水平列于下表因素,水平,因素水平表,A,水灰比,B,振捣方法,C,蒸养时间,1,0.4,插捣,3,2,0.45,振捣,4,要考虑,A,、,B,、,C,和,A,B,、,AC,、,BC,对混凝土,7,天抗压强度的影响，并选择较优的生产工艺A,B,AB,C,AC,BC,指标,1,1,1,1,1,1,1,1,169,2,1,1,1,2,2,2,2,178,3,1,2,2,1,1,2,2,273,4,1,2,2,2,2,1,1,272,5,2,1,2,1,2,1,2,146,6,2,1,2,2,1,2,1,169,7,2,2,1,1,2,2,1,194,8,2,2,1,2,1,1,2,215,K,1,892,662,756,782,826,802,804,总和,1,616,K,2,724,954,860,834,790,814,812,R,168,292,104,52,36,12,8,L,8,（,2,7,）试验方案与极差计算结果,影响因素的主次顺序,B A A,B C A,C B,C,例,3.4,对例,3.3,进行方差分析,解：按公式先算第,1,列的偏差平方和,S,A,其它各列的计算方法同上,各列自由度均为,2,1,1,，方差分析结果见下表,方差分析表,方差来源,平方和,自由度,方差,F,值,临界值,A,S,A,3528,1,3528,56.3,F,0.01,(1,，,3),34.1,B,S,B,10658,1,10658,170.0,F,0.05,(1,，,3),10.1,A,B,S,A,B,1352,1,1352,21.6,F,0.10,(1,，,3),5.54,C,S,C,338,1,338,5.4,A,C,S,A,C,162,1,B,C,S,B,C,18,1,62.7,空列,S,空,8,1,e,S,e,S,AC,+,S,BC,+,S,空,188,3,对因素进行,F,检验时，一般可考虑四种情况。
F,F,0.01,(,f,因,，,f,e,),，则因素对结果的影响高度显著F,0.01,(,f,因,，,f,e,),F,F,0.05,(,f,因,，,f,e,),，则该因素对结果的影响为显著F,0.05,(,f,因,，,f,e,),F,F,0.1,(,f,因,，,f,e,),，则该因素对结果有影响F F,0.1,(,f,因,，,f,e,),，则该因素对结果无影响方差分析结果：,A,和,B,对强度影响高度显著，,A,B,影响显著，而,C,的影响不显著所以，对,A,和,B,的水平应严格选取，而,C,的水平可以任取实验误差为：（,V,e,）,1/2,=,（,62.7,）,1/2,=7.9kg/cm,2,可见，方差分析的结论与极差法的结论不尽相同显然，由于方差分析利用了更多的信息，因此方差分析更加可靠、准确注意,由于实验误差的方差,V,e,=,S,e,/f,e,直接影响,F,值的大小在,f,e,很小时，,F,检验的灵敏度很低；,f,e,太大，又要增加实验次数，故一般,f,e,在,6,20,之间最理想当正交实验安排表中空列不止一列，如为,y,列时，实验误差平方和,S,e,应等于总平方和,S,T,减去各因素列平方和。
而相应的自由度,f,e,=,y,(,因素的水平数,1),3.2.4.2,不同水平正交实验设计的方差分析,不同水平（混合型）正交表的方差分析与相同水平的正交表方差分析基本相同，只是在计算偏差平方和及自由度时，应注意各列水平数的差别3.2.5,正交实验的下一轮实验设计,在完成了第一轮正交实验后，通过不同的分析方法，至少可以得到三个优秀方案所获得的可能最优及可能更优方案，都还没有经过实验验明，而且也还存在实验误差，因此正交试验设计常常要进行第二轮、第三轮甚至更多次进行下轮实验的目的：,首先是为了验证原实验结果是否可靠；验证可能最优及可能更优方案是否确实最优，以及哪一个方案最优；,其次是结合其它要求（如成本、质量、能耗、操作等），探寻综合更优的条件组合下一轮实验计划有如下两种安排方法：,一、不用正交表的下一轮实验设计,对第一轮正交实验结果分析所得出的全部可能优秀方案，逐一方案都重复做,n,次实验然后将其实验结果取平均值，得出每一方案的准确结果比较这些方案的各自结果，从中选出最优秀方案，将其确定为生产条件二、继续用正交表安排下一轮实验,此方法是利用前批实验的经验和信息，重新选取后批实验的因素、水平以及比前批试验次数少的正交表，进行下一轮实验。
